熊本大学 2022年度理系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

$x,$ $y$ を実数とし, $f (p) = p^{2} + x p + y$ とおく．このとき,以下の問いに答えよ．(問1)　 $p$ の $2$ 次方程式 $f (p) = 0$ が実数解を持つような点 $(x, y)$ 全体の集合を $D$ とおく． $D$ を $x y$ 平面上に図示せよ．(問2)　 $p$ の $2$ 次方程式 $f (p) = 0$ は実数解を持つとする． $f (p) = 0$ の実数解がすべて $1$ 以下で,少なくとも $1$ つの実数解は $0$ 以上となるような点 $(x, y)$ 全体の集合を $E$ とおく． $E$ を $x y$ 平面上に図示せよ．(問3)　点 $(x, y)$ が(問2)の集合 $E$ 全体を動くとき, $x^{2} + y^{2} - 4 y + 4$ の最小値を求めよ．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第3問

方針

(問1)は判別式で領域を出す。(問2)は実根を $α ≦ β$ とし， $β ≦ 1$ と $β ≧ 0$ を係数条件へ直す。得られた領域を2つの範囲に分け，(問3)では点 $(0, 2)$ から領域への距離の最小として境界を確認する。

解答

(問1)

$f (p) = 0$ が実数解をもつ条件は判別式が $0$ 以上であることなので

x^{2} - 4 y ≧ 0

である。したがって

D : y ≦ \frac{x ^{2}}{4}

であり，放物線 $y = \frac{x ^{2}}{4}$ の下側の領域である。

(問2)

実数解を $α ≦ β$ とする。すべての実数解が $1$ 以下である条件は， $q = p - 1$ とおいたとき， $q$ の2つの解がともに $0$ 以下であることと同値である。よって

x ≧ - 2, f (1) = 1 + x + y ≧ 0

が必要である。判別式条件も合わせると

y ≦ \frac{x ^{2}}{4}, x ≧ - 2, y ≧ - x - 1

である。

さらに少なくとも1つの実数解が $0$ 以上であるためには，2つの実数解がともに負である場合を除けばよい。これは $x > 0$ かつ $y > 0$ の場合である。したがって領域 $E$ は

- 2 ≦ x ≦ 0 では - x - 1 ≦ y ≦ \frac{x ^{2}}{4},

x ≧ 0 では - x - 1 ≦ y ≦ 0

で表される領域である。

(問3)

求める式は

x^{2} + y^{2} - 4 y + 4 = x^{2} + (y - 2)^{2}

である。これは点 $(x, y)$ と点 $(0, 2)$ の距離の2乗である。

$- 2 ≦ x ≦ 0$ の上側境界 $y = \frac{x ^{2}}{4}$ 上では， $u = x^{2}$ とおくと

x^{2} + (\frac{x ^{2}}{4} - 2)^{2} = u + (\frac{u}{4} - 2)^{2} = \frac{u ^{2}}{16} + 4 ≧ 4

である。 $x ≧ 0$ の上側境界 $y = 0$ 上では

x^{2} + (0 - 2)^{2} = x^{2} + 4 ≧ 4

である。また下側境界 $y = - x - 1$ 上では

x^{2} + (- x - 3)^{2} ≧ \frac{9}{2} > 4

である。点 $(0, 0)$ は領域 $E$ に含まれ，この点で値は $4$ である。したがって最小値は

4

である。

熊本大学 2022年度理系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
理系数学第3問（理工系）