熊本大学 2021年度文系数学第4問解答・解説

問題

$a$ を $a > 1$ である実数とする． $x$ についての連立不等式 ${x^{3} + 2 a x^{2} - a^{2} x - 2 a^{3} < 0 3 x^{2} - x < 4 a - 12 a x$ の解について考える．連立不等式の解のうち整数であるものの個数を $m (a)$ とする．(問1)　連立不等式を解け．(問2)　 $a > 2$ のとき， $m (a)$ の最小値を求めよ．(問3)　 $m (a) = 4$ となる $a$ の値の範囲を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文系第4問

方針

二つの不等式を因数分解し， $a > 1$ での根の順序を使って解区間を出す。整数個数は二つの開区間に含まれる整数を境界に注意して数える。

解答

(問1)

x^{3} + 2 a x^{2} - a^{2} x - 2 a^{3} = (x + 2 a) (x - a) (x + a)

より第1不等式は $x < - 2 a$ または $- a < x < a$ 。また

3 x^{2} + (12 a - 1) x - 4 a = (3 x - 1) (x + 4 a)

より第2不等式は $- 4 a < x < \frac{1}{3}$ 。したがって

- 4 a < x < - 2 a, - a < x < \frac{1}{3} .

(問2)

$a > 2$ のとき，後者の区間には $- 2, - 1, 0$ の3個，前者の区間には少なくとも $- 8, - 7, - 6, - 5$ の4個が入るので $m (a) ≧ 7$ 。 $2 < a ≦ \frac{9}{4}$ ではちょうどこれら7個であるから最小値は

7.

(問3)

$1 < a ≦ 2$ では $(- a, \frac{1}{3})$ に含まれる整数は $- 1, 0$ の2個である。 $(- 4 a, - 2 a)$ の整数個数は，正の整数 $q = - x$ で

2 a < q < 4 a

を満たす個数である。これが2個になるのは

1 < a ≦ \frac{5}{4} ， a = \frac{3}{2}

である。 $a > 2$ では後者の区間だけで3個以上になるので不可。

熊本大学 2021年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文系数学第4問