熊本大学 2021年度文系数学第1問解答・解説

問題

$2$ つの関数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 2 x - 4 ，$ $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x - 2$ について，曲線 $y = f (x)$ と曲線 $y = g (x)$ の $2$ つの交点の $x$ 座標を $a ，$ $b$ $（ a > b ）$ とする．(問1)　 $a ，$ $b$ を求めよ．(問2)　 $2$ つの曲線 $y = f (x) ，$ $y = g (x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．(問3)　実数 $t$ は $t > ∣ a ∣$ かつ $t > ∣ b ∣$ を満たすとする． $4$ つの不等式 $x ≧ a ，$ $y ≦ f (x) ，$ $y ≧ g (x) ，$ $x ≦ t$ を満たす領域の面積を $S_{1} ，$ また， $4$ つの不等式 $x ≦ b ，$ $y ≦ f (x) ，$ $y ≧ g (x) ，$ $x ≧ - t$ を満たす領域の面積を $S_{2}$ とする． $S_{1}$ と $S_{2}$ の和が(問2)の $S$ と等しいときの $t$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文系第1問

方針

$f - g$ を因数分解して交点を出し，内側では $g - f$ ，外側では $f - g$ を積分する。最後に $S_{1} + S_{2} = S$ から $t$ を決める。

解答

(問1)

f (x) - g (x) = x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

より， $a = 2, b = - 1$ である。

(問2)

$- 1 ≦ x ≦ 2$ では $g (x) ≧ f (x)$ であるから

S = \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = \frac{9}{2} .

(問3)

$t > 2$ で， $F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} - 2 x$ とおくと

S_{1} = F (t) - F (2), S_{2} = F (- 1) - F (- t) .

$F (2) = - \frac{10}{3}$ ， $F (- 1) = \frac{7}{6}$ より

S_{1} + S_{2} = \frac{2}{3} t^{3} - 4 t + \frac{9}{2} .

これが $S = \frac{9}{2}$ に等しいから $t (t^{2} - 6) = 0$ 。 $t > 2$ より

t = 6 .

熊本大学 2021年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文系数学第1問