熊本大学 2019年度理系数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

赤球と白球の $2$ 色の球を用いて行うゲームがあり，手元にある球全体に対する赤球の比率が $p$ であるとき，確率 $p^{2}$ でゲームに勝つものとする． $n$ を $2$ 以上の整数とし，赤球，白球ともに $n$ 個入っている箱から $n$ 個の球を取り出してゲームを行った．以下の問いに答えよ．(問1)　 $k$ を $0$ 以上 $n$ 以下の整数とする．取り出した $n$ 個の球のうち赤球が $k$ 個となる確率は $\frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}}$ となることを示せ．(問2)　 $k$ を $1$ 以上 $n$ 以下の整数とする．取り出した $n$ 個の球のうち赤球が $k$ 個となり，さらにゲームに勝つ確率は $\frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} \cdot \frac{( _{n - 1} C _{k - 1} ) ^{2}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}}$ であることを示せ．(問3)　ゲームに勝つ確率は $\frac{n}{2 ( 2 n - 1 )}$ であることを示せ．

出典：熊本大学 2019年度前期理系第4問

方針

赤球が $k$ 個となる取り出し方を，赤球と白球からそれぞれ選ぶ方法で数える。問2では問1の確率に勝つ確率 $(k / n)^{2}$ を掛け，組合せの基本恒等式で指定形へ変形する。問3は $k$ について和を取り，二つの $n - 1$ 個の集合から $n - 1$ 個を選ぶ数え上げで和を処理する。

解答

(問1)

取り出す $n$ 個の球のうち赤球が $k$ 個であるには，赤球 $n$ 個から $k$ 個，白球 $n$ 個から $n - k$ 個を選べばよい。したがってその取り出し方は

_{n} C_{k}_{n} C_{n - k} = (_{n} C_{k})^{2}

通りである。全体の取り出し方は $_{2 n} C_{n}$ 通りであるから，求める確率は

\frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}}

である。

(問2)

赤球が $k$ 個であるとき，手元の球全体に対する赤球の比率は $\frac{k}{n}$ であるから，ゲームに勝つ確率は $(\frac{k}{n})^{2}$ である。よって求める確率は

\frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}} (\frac{k}{n})^{2}

である。ここで

_{n} C_{k} = \frac{n}{k}_{n - 1} C_{k - 1},_{2 n} C_{n} = \frac{2 ( 2 n - 1 )}{n}_{2 n - 2} C_{n - 1}

であるから，上の確率は

\frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} \cdot \frac{( _{n - 1} C _{k - 1} ) ^{2}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}}

である。

(問3)

ゲームに勝つ確率は，(問2)を $k = 1, 2, \dots, n$ について加えればよい。ここで

k = 1 \sum n (_{n - 1} C_{k - 1})^{2} =_{2 n - 2} C_{n - 1}

である。実際，左辺は二つの $n - 1$ 個の集合から合計 $n - 1$ 個を選ぶとき，一方から $k - 1$ 個，他方から $n - k$ 個を選ぶ場合に分けて数えたものである。したがって

k = 1 \sum n \frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} \cdot \frac{( _{n - 1} C _{k - 1} ) ^{2}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}} = \frac{n}{2 ( 2 n - 1 )}

である。

熊本大学 2019年度理系数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2019年度
理系数学第4問（医学部医学科）