熊本大学 2019年度文系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．(問2)　座標平面上の曲線 $C_{1} : y = x^{2} + 2 p x - 2 p$ および $C_{2} : y = x^{3}$ の共有点がちょうど $2$ 個になるような実数 $p$ の値をすべて求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文系第3問

方針

共有点の $x$ 座標を求める方程式を作り， $(x - 1) (x^{2} - 2 p) = 0$ と因数分解する。 $x = 1$ と $x^{2} = 2 p$ から得られる実数解の個数を $p < 0, p = 0, p > 0$ と重なりの場合で分類する。

解答

(問2)

共有点の $x$ 座標は

x^{2} + 2 p x - 2 p = x^{3}

を満たす。これは

x^{3} - x^{2} - 2 p x + 2 p = 0

すなわち

(x - 1) (x^{2} - 2 p) = 0

である。

$p < 0$ のとき， $x^{2} = 2 p$ は実数解をもたないので共有点は $1$ 個である。 $p = 0$ のとき，解は $x = 1, 0$ であり，共有点はちょうど $2$ 個である。 $p > 0$ のとき， $x = 1, \pm 2 p$ が得られる。これがちょうど $2$ 個の異なる値になるのは， $2 p = 1$ のとき，すなわち $p = \frac{1}{2}$ のときである。

以上より，求める値は

p = 0, \frac{1}{2}

である。

熊本大学 2019年度文系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解答

(問2)

熊本大学 2019年度
文系数学第3問（理工系）