熊本大学 2019年度文系数学第3問（文系学部）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．(問1)　実数 $a$ $b$ に対して， $f (x) = x^{2} + a x + b$ とおく． $y = f (x)$ は $x$ 軸および直線 $y = 2 x + 3$ に接しているとする．実数 $a$ $b$ を求めよ．このとき， $y = f (x)$ $x$ 軸および直線 $y = 2 x + 3$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文系第3問

方針

放物線が $x$ 軸に接する条件と，直線との差が重解をもつ条件を判別式で表す。係数決定後は接点と直線の $x$ 軸交点を確認し，区間を二つに分けて面積を積分する。

解答

(問1)

$y = f (x)$ が $x$ 軸に接するから，二次方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ は重解をもつ。よって

a^{2} - 4 b = 0

である。また直線 $y = 2 x + 3$ に接するから

f (x) - (2 x + 3) = x^{2} + (a - 2) x + b - 3

も重解をもつ。したがって

(a - 2)^{2} - 4 (b - 3) = 0

である。 $b = \frac{a ^{2}}{4}$ を代入すると

(a - 2)^{2} - a^{2} + 12 = 0

より $a = 4$ であり， $b = 4$ である。

このとき

f (x) = (x + 2)^{2}, f (x) - (2 x + 3) = (x + 1)^{2}

である。放物線と $x$ 軸の接点は $(- 2, 0)$ ，直線と $x$ 軸の交点は $(- \frac{3}{2}, 0)$ ，放物線と直線の接点は $(- 1, 1)$ である。よって求める面積は

\int_{- 2}^{- 3/2} (x + 2)^{2} d x + \int_{- 3/2}^{- 1} (x + 1)^{2} d x

である。これを計算して

\frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12}

となる。

熊本大学 2019年度文系数学 第3問（文系学部）

問題

方針

解答

(問1)

熊本大学 2019年度
文系数学第3問（文系学部）