熊本大学 2019年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

$1$ 個のさいころを投げて，出た目の数を $a$ とする． $a$ が偶数のときは $b = \frac{1}{2} a$ $a$ が奇数のときは $b = \frac{1}{2} (a + 3)$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $a > b$ となる確率を求めよ．(問2)　 $sin \frac{π}{5} > 0.5$ および $cos \frac{π}{5} < 0.9$ を示せ．(問3)　 $S = cos \frac{π}{a} + sin \frac{π}{b}$ とおく． $a > b$ であるとき， $S < 1.7$ となる条件付き確率を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文理共通第2問

方針

さいころの各目について $b$ と $a > b$ の成否を表にする。三角関数の不等式は単位円上の単調性と $cos \frac{π}{5} = \frac{1 + 5}{4}$ を用いる。条件付き確率では $a > b$ となる4通りに絞り， $S < 1.7$ を各場合で判定する。

解答

(問1)

$a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対する $b$ は順に

2, 1, 3, 2, 4, 3

である。したがって $a > b$ となるのは $a = 2, 4, 5, 6$ の4通りであるから，求める確率は

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

である。

(問2)

$0 < \frac{π}{6} < \frac{π}{5} < \frac{π}{2}$ であり，この範囲で $sin x$ は増加するから

sin \frac{π}{5} > sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

である。また $cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{4}$ であり， $5 < 2.6$ より

cos \frac{π}{5} = \frac{1 + 5}{4} < \frac{3.6}{4} = 0.9

である。

(問3)

(問1)より， $a > b$ のもとで起こり得る $(a, b)$ は

(2, 1), (4, 2), (5, 4), (6, 3)

の4通りであり，いずれも同じ確率で起こる。それぞれの $S$ は

0, 1 + \frac{2}{2}, cos \frac{π}{5} + \frac{2}{2}, 3

である。ここで

1 + \frac{2}{2} > 1.7, cos \frac{π}{5} + \frac{2}{2} < 0.9 + 0.8 = 1.7, 3 > 1.7

である。したがって $S < 1.7$ となるのは $(2, 1)$ と $(5, 4)$ の2通りであるから，求める条件付き確率は

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

である。

熊本大学 2019年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2019年度
文理共通数学第2問