問題
以下の問いに答えよ。ただし，は自然対数の底を表す。
(1) を実数の定数とし，とおく。方程式の異なる実数解の個数を求めよ。ただし，を用いてもよい。
(2) をみたす正の実数，の組がただ1つ存在するときの実数の値を求めよ。
(3) をみたす正の実数，を考えるとき，のとりうる値の最大値とそのときのの値を求めよ。
出典：北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
(1) は の増減を調べ， で最大値 をとること， で0になること， で0に近づくことを使って解の個数を分類する。(2) は と分け，正の範囲で各因子が最大 を一意にとることから，ただ1組になるのは最大積の場合だけと見る。(3) は を固定し， が存在する条件を で判定し， から最大の を求める。
解答
(1)
とする。微分すると である。 だから， は で増加し， で減少する。また である。さらに では であり， では である。
以上より，方程式 の異なる実数解の個数は
である。
(2)
正の実数 に対して，(1)より であり，等号は のときだけ成り立つ。したがって正の について であり，等号は のときだけ成り立つ。
よって，ただ1つの組だけが存在するのは最大値をとる場合であり， である。このとき実際に解は の1組だけである。
(3)
条件は である。 を正の実数として固定する。正の が存在するためには， の最大値が であることから が必要十分である。すなわち である。
正の範囲で は で増加し， で減少する。また である。したがって を満たす正の の最大値は である。
このとき であるから，(1)の等号条件より である。よって の最大値は ，そのときの は である。