問題
正の実数が，方程式
を満たすとする。
(1) をを用いて表せ。
(2) 正の実数が(★)およびを満たしながら動くとき，
の最大値を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
指数はすべて底 にそろえ，， とおくと になり， から が出る。後半は とおくと，対数式は底の変換により にまとまる。 は増加関数なので， を最小化すればよい。最小化は平方完成型の不等式で処理し，微分による確認を別解として添える。
解答
(1)
与式の両辺を底 で表すと である。両辺に を掛けると となる。ここで とおくと，左辺は であり，右辺は である。したがって すなわち である。よって であり， となる。指数を比べて である。
(2)
とおく。条件 と より である。底の変換公式を用いると
である。したがって求める式は である。
(1) より だから である。ここで より である。すると
であるから である。等号は のとき成り立つ。このとき で， であり，実際に となって条件 を満たす。
よって の最大値は である。 は で増加関数だから，求める最大値は である。
別解。
の最小化は微分でも確認できる。 において
である。したがって では減少し， では増加するので，最小は のときである。以後は上と同じく最大値 を得る。