北海道大学 2021年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$a$ を $a \neq = - 3$ を満たす定数とする。放物線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 上の点 $A (- 1, \frac{1}{2})$ における接線を $l_{1}$ ，点 $B (a + 2, \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2})$ における接線を $l_{2}$ とする。 $l_{1}$ と $l_{2}$ の交点を $C$ とおく。

(1) $C$ の座標を $a$ を用いて表せ。

(2) $a$ が $a > 0$ を満たしながら動くとき， $\frac{∣ A B ∣}{∣ B C ∣}$ が最小となるときの $a$ の値を求めよ。ただし， $∣ A B ∣$ および $∣ B C ∣$ はそれぞれ線分 $A B$ と線分 $B C$ の長さを表す。

出典：北海道大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

放物線 $y = x^{2} /2$ の $x = t$ における接線を一般形で書き， $t = - 1$ と $t = a + 2$ を代入して2本の接線を得る。交点 $C$ は連立で求める。距離比は正なので， $∣ A B ∣/∣ B C ∣$ の代わりに2乗を最小化する。 $A B$ と $B C$ の成分には共通因子 $a + 3$ が出るが， $a \neq = - 3$ なので比では消える。最後は有理関数を微分して増減を判定する。

解答

(1)

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ の導関数は $y^{'} = x$ である。したがって $x = t$ における接線は $y - \frac{t ^{2}}{2} = t (x - t)$ すなわち $y = t x - \frac{t ^{2}}{2}$ である。

点 $A$ は $t = - 1$ に対応するから $l_{1} : y = - x - \frac{1}{2}$ である。また点 $B$ は $t = a + 2$ に対応するから $l_{2} : y = (a + 2) x - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2}$ である。交点 $C$ では $- x - \frac{1}{2} = (a + 2) x - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2}$ だから $(a + 3) x = \frac{( a + 2 ) ^{2} - 1}{2} = \frac{( a + 1 ) ( a + 3 )}{2}$ である。 $a \neq = - 3$ より $x = \frac{a + 1}{2}$ であり，これを $l_{1}$ に代入して $y = - \frac{a + 1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{a + 2}{2}$ を得る。したがって $C = (\frac{a + 1}{2}, - \frac{a + 2}{2})$ である。

(2)

$A = (- 1, \frac{1}{2}), B = (a + 2, \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2})$ であるから

A B = (a + 3, \frac{( a + 2 ) ^{2} - 1}{2}) = (a + 3, \frac{( a + 1 ) ( a + 3 )}{2})

である。よって

∣ A B ∣^{2} = (a + 3)^{2} {1 + \frac{( a + 1 ) ^{2}}{4}} = \frac{( a + 3 ) ^{2} ( a ^{2} + 2 a + 5 )}{4}

である。

また

B C = (\frac{a + 1}{2} - (a + 2), - \frac{a + 2}{2} - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2}) = (- \frac{a + 3}{2}, - \frac{( a + 2 ) ( a + 3 )}{2})

である。したがって $∣ B C ∣^{2} = \frac{( a + 3 ) ^{2}}{4} {1 + (a + 2)^{2}} = \frac{( a + 3 ) ^{2} ( a ^{2} + 4 a + 5 )}{4}$ である。 $a > 0$ では $a + 3 \neq = 0$ なので， $(\frac{∣ A B ∣}{∣ B C ∣})^{2} = \frac{a ^{2} + 2 a + 5}{a ^{2} + 4 a + 5}$ となる。この関数を $R (a)$ とおく。分母は常に正であり，

R^{'} (a) = \frac{( 2 a + 2 ) ( a ^{2} + 4 a + 5 ) - ( a ^{2} + 2 a + 5 ) ( 2 a + 4 )}{( a ^{2} + 4 a + 5 ) ^{2}} = \frac{2 ( a ^{2} - 5 )}{( a ^{2} + 4 a + 5 ) ^{2}}

である。したがって $0 < a < 5$ では $R^{'} (a) < 0$ ， $a > 5$ では $R^{'} (a) > 0$ となる。よって $R (a)$ ，したがって $\frac{∣ A B ∣}{∣ B C ∣}$ が最小となるのは $a = 5$ のときである。

北海道大学 2021年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2021年度
理系数学前期第2問