問題
，は実数で，は1以上とする。座標平面上の3点，，を頂点とする三角形の重心の座標をとする。
(1) とを，とを用いて表せ。
(2) とする。が実数全体を動くとき，の軌跡を求め，座標平面上に図示せよ。
(3) が1以上の実数全体を，が実数全体を動くとき，が通過する範囲を座標平面上に図示せよ。
出典：北海道大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
重心公式から を で表す。(2)は として を消去すれば放物線になる。(3)では と消去し、条件 を と読む。固定した に対して の最小値を、頂点 が許されるかどうかで場合分けする。
解答
(1)
3点 の重心が であるから であり、 である。したがって である。
(2)
のとき である。 を代入すると である。 は実数全体を動くので、 も実数全体を動く。したがって軌跡は で表される放物線全体である。これは下に凸で、頂点は である。
(3)
(1)より である。条件 は すなわち である。また である。
ここで を固定して、 のもとで の最小値を調べる。二次式 の頂点は である。 のときは であり、 が許される。したがって である。 のときは であり、許される範囲 では二次式は右端 で最小となる。したがって である。
以上より、 が通過する範囲は
である。図示すると、 では放物線 の上側、 では直線 の上側であり、2つの境界は でつながる。