北海道大学 2019年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数とする。当たりくじ2本を含む $n$ 本のくじがある。くじを引いて，当たりなら持ち点に1を加算し，はずれなら持ち点は変わらないとする。最初の持ち点は0とし，くじを引いてはもどすという試行を $n$ 回繰り返す。
$k$ を0以上の整数とする。 $n$ 回の試行が終了した時点の持ち点が $k$ となる確率を $p_{n} (k)$ とする。

(1) 確率 $p_{n} (k)$ を求めよ。

(2) $n \to \infty lim p_{n} (k)$ を求めよ。ただし， $e$ を自然対数の底とするとき， $n \to \infty lim (1 - \frac{2}{n})^{n} = e^{- 2}$ であることを用いてもよい。

(3) $p (k) = n \to \infty lim p_{n} (k)$ と定める。値 $p (k)$ が最大となるような $k$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

1回の試行で当たりを引く確率は $\frac{2}{n}$ で、くじを戻すため各試行は独立に同じ確率で行われる。したがって(1)は二項分布で表せる。(2)では $k$ を固定して、二項係数部分と $(1 - \frac{2}{n})^{n - k}$ を分けて極限を取る。(3)は極限値 $p (k)$ の隣り合う項の比 $p (k + 1) / p (k)$ を調べ、増加・同値・減少の切り替わりから最大となる $k$ を決める。

解答

(1)

1回の試行で当たりくじを引く確率は $\frac{2}{n}$ であり、はずれを引く確率は $1 - \frac{2}{n}$ である。くじは毎回戻すので、各試行は同じ確率で独立に行われる。したがって、 $n$ 回中ちょうど $k$ 回当たりを引く確率は、 $0 ≦ k ≦ n$ のとき

p_{n} (k) =_{n} C_{k} (\frac{2}{n})^{k} (1 - \frac{2}{n})^{n - k}

である。 $k < 0$ または $k > n$ のときは、そのような回数は起こらないので $p_{n} (k) = 0$ である。

(2)

$k$ を固定して $n \to \infty$ とする。まず

_{n} C_{k} (\frac{2}{n})^{k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} \cdot \frac{2 ^{k}}{n ^{k}}

であるから $_{n} C_{k} (\frac{2}{n})^{k} \to \frac{2 ^{k}}{k !}$ である。また

(1 - \frac{2}{n})^{n - k} = (1 - \frac{2}{n})^{n} (1 - \frac{2}{n})^{- k}

であり、問題文で与えられた極限より

(1 - \frac{2}{n})^{n} \to e^{- 2}, (1 - \frac{2}{n})^{- k} \to 1

である。したがって $n \to \infty lim p_{n} (k) = e^{- 2} \frac{2 ^{k}}{k !}$ である。

(3)

$p (k) = e^{- 2} \frac{2 ^{k}}{k !}$ である。隣り合う項の比をとると

\frac{p ( k + 1 )}{p ( k )} = \frac{2 ^{k + 1}}{( k + 1 )!} \cdot \frac{k !}{2 ^{k}} = \frac{2}{k + 1}

である。

したがって $k = 0$ から $k = 1$ へは $\frac{p ( 1 )}{p ( 0 )} = 2 > 1$ なので増加する。 $k = 1$ から $k = 2$ へは $\frac{p ( 2 )}{p ( 1 )} = 1$ なので等しい。 $k ≧ 2$ では $\frac{p ( k + 1 )}{p ( k )} < 1$ なので減少する。よって最大となる $k$ は $k = 1, 2$ である。

北海道大学 2019年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2019年度
後期・理系数学後期第1問