北海道大学 2019年度
文系数学 前期 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 微分、方程式・不等式
- 解法
- 恒等式比較、増減表、判別式
- 難易度
- 7 / 10 計算量 6 / 10 目安 —
問題
実数a，b，cに対し，関数f(x)=x3−3ax2+bx+cを考える。1次関数g(x)があり，f(x)とその導関数f′(x)は，すべてのxに対し等式f(x)=f′(x)g(x)−6xを満たしているとする。
(1) bとcをaで表せ。
(2) 3次方程式f(x)=0が異なる3個の実数解をもつように，aの値の範囲を定めよ。
出典：北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
g(x)=mx+n とおいて恒等式を係数比較し、まず m,n,b,c を順に決める。得られた f(x) は x−a で平行移動すると u3−9u−6a という簡単な形になる。3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件は、極大値が正かつ極小値が負であることなので、端点で重解になる場合を除いて a の範囲を出す。
解答
(1)
g(x)=mx+n とおく。f′(x)=3x2−6ax+b であるから f′(x)g(x)−6x=(3x2−6ax+b)(mx+n)−6x である。これが f(x)=x3−3ax2+bx+c に恒等的に等しいので、係数を比較する。 x3 の係数から 3m=1 より m=31 である。x2 の係数から 3n−6am=−3a であり、m=31 を代入して 3n−2a=−3a すなわち n=−3a を得る。 x の係数を比べると bm−6an−6=b である。ここに m=31,n=−3a を代入して 3b+2a2−6=b となるので b=3a2−9=3(a2−3) である。最後に定数項から c=bn=3(a2−3)(−3a)=−a(a2−3) である。したがって b=3(a2−3),c=−a(a2−3) である。
(2)
(1)より
f(x)=x3−3ax2+3(a2−3)x−a(a2−3)=(x−a)3−9x+3a
である。u=x−a とおくと、x=u+a だから f(x)=u3−9u−6a となる。よって方程式 f(x)=0 は u3−9u−6a=0 と同値である。 F(u)=u3−9u−6a とおくと F′(u)=3u2−9=3(u2−3) である。したがって F(u) は u=−3 で極大、u=3 で極小をとる。極大値は F(−3)=−33+93−6a=6(3−a) であり、極小値は F(3)=33−93−6a=−6(3+a) である。
3次方程式が異なる3個の実数解をもつためには、極大値が正で、極小値が負であればよい。よって 6(3−a)>0,−6(3+a)<0 であり、これは a<3,a>−3 と同値である。端点では極値が0となり重解をもつため、「異なる3個」にはならない。したがって −3<a<3 である。
