問題
を自然数とする。数列2，1，2，1，1のように各項が1または2の有限数列（項の個数が有限である数列）を考える。各項が1または2の有限数列のうちすべての項の和がとなるものの個数をとする。例えば，のときは，1項からなる数列1のみである。したがって，となる。のときは，1項からなる数列2と2項からなる数列1，1の2つである。したがって，となる。
(1) を求めよ。
(2) のとき，をとを用いて表せ。
(3) 3以上のすべてのの対してが成り立つような実数，の組を1組求めよ。
(4) を求めよ。
出典：北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
和が になる数列を最後の項で分類する。最後が1なら直前までの和は 、最後が2なら直前までの和は なので、フィボナッチ型の漸化式が得られる。(3)は を指定の形に因数分解するため、、 を満たす組を選ぶ。最後は初期値 から一般項を決める。
解答
(1)
和が3となる数列は の3つである。したがって である。
(2)
とする。和が となる数列を、最後の項が1であるものと2であるものに分ける。
最後の項が1であるなら、それを取り除いた残りの和は である。したがってその個数は である。最後の項が2であるなら、それを取り除いた残りの和は であり、その個数は である。この2種類は重ならないので である。
(3)
(2)より である。これが と一致すればよい。したがって を満たす を取ればよい。これは と同値である。例えば はこの条件を満たす。
(4)
とする。この2数は の2解である。漸化式 の形から とおける。初期値 を用いると である。これを解くと、同値に となる。 だから
である。