問題
が実数となるような0と異なる複素数の全体をとする。
(1) を複素平面上に図示せよ。
(2) を実数とする。に属するで方程式
を満たすものが存在するようなの値の範囲を求めよ。ただし，は虚数単位を表す。
出典：北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
(1)は とおいて、 の虚部が0になる条件を求める。すると または となり、 は実軸と半径2の円の和集合である。(2)では、実軸上の点は別に確認し、円 上では と置く。方程式から が出るので、 として の最大値を調べる。
解答
(1)
とおく。ただし である。このとき だから、 である。虚部は である。したがって が実数である条件は である。よって または である。
したがって は、原点を除いた実軸と、原点中心・半径2の円周の和集合である。円周上には は含まれないので、そのまま含めてよい。
(2)
まず が実軸上にある場合を考える。このとき と はどちらも実数である。方程式 の左辺は実数、右辺は純虚数なので、両辺が等しいためには両辺が0でなければならない。したがって より である。このとき左辺が0になるためには が必要であり、 は後で得る範囲に含まれる。
次に円 上の点を考える。 とおくと である。したがって である。方程式は となる。 であるから である。 とおくと、 であり、 である。これを とおく。分子を整理して微分すると である。 では なので、最大は で起こる。このとき
である。 の符号を変えれば の符号も変わるので、 は正負対称にすべての値をとる。よって求める範囲は である。