問題
一辺の長さが3の正三角形を底面とする四面体を考える．とする．
(1) 四面体の体積を求めよ．
(2) 辺上の点と辺上の点が
を満たすとき，長さを求めよ．
出典：北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
底面の正三角形の中心を使うと、 から頂点 は底面の外心、すなわち重心の真上にある。(1)は底面の外接円半径と から高さを出し、底面積に掛ける。(2)は座標を置き、 として の座標を表す。 となる対称性を確認したうえで、内積または余弦定理で を方程式に直し、 に合う解だけを採用する。
解答
(1)
底面 は一辺3の正三角形である。その外接円の半径は である。 なので、点 は底面の外心、すなわち正三角形の中心の真上にある。
四面体の高さを とすると、底面の中心から各頂点までの距離が であるから である。したがって である。
底面積は である。よって四面体 の体積は である。
(2)
座標を
とおく。底面の中心は であり、(1)より高さは1だから とおける。 とおく。 は辺 上、 は辺 上にあるので である。ただし である。
まず
同様に である。また
したがって
これが に等しいから である。整理すると を得る。よって である。 なので、採用できるのは である。これは も満たす。したがって である。
別解。(2)では と を使って余弦定理で処理してもよい。実際、 は一辺 の正三角形だから であり、上で求めたように である。 に余弦定理を用いると
これを とおくと となり、同じく を得る。