北海道大学 2003年度
文系数学 前期 第3問

解答

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ であるから $f^{\prime }(x)=2ax+b$ である。したがって定数項 $c$ は2つの条件に現れない。

まず ${\int }_0^1(2ax+b)(px+q)dx=\frac{1}{2}$ を計算する。被積分関数を展開すると $(2ax+b)(px+q)=2ap{x}^2+(2aq+bp)x+bq$ であるから、$\frac{2a}{3}p+\frac{2aq+bp}{2}+bq=\frac{1}{2}$ となる。すなわち

である。

次に ${\int }_{-1}^1(2ax+b)(px+q)dx=0$ を計算する。奇関数の項は積分すると0になるので、${\int }_{-1}^{1}2ap{x}^{2}dx+{\int }_{-1}^{1}bqdx=0$ である。よって

を得る。

したがって $p,q$ は連立一次方程式

を満たす必要がある。この係数行列の行列式を $D$ とすると

$D\ne 0$ なら連立方程式は一意に解をもつ。$D=0$ の場合を確認する。もし $(a,b)=(0,0)$ なら(1)の左辺は0となり、$0=1/2$ で不可能である。$(a,b)\ne (0,0)$ で $D=0$ なら、(1),(2)の左辺の係数は比例するが、右辺は $1/2$ と0で比例しない。したがってこの場合も解は存在しない。

よって $p,q$ が存在するための条件は $D\ne 0$ すなわち $4a^2-3b^2\ne 0$ である。$c$ は任意の実数でよい。

この条件のもとで解を求める。クラメルの公式より

また

したがって $p=-\frac{3b}{4a^2-3b^2},q=\frac{2a}{4a^2-3b^2}$ である。