北海道大学 1981年度
文系数学 前期 第3問

解答

2つの放物線の差をとる。

である。これを因数分解すると $\frac{a-6}{a^2}x(x-a)$ である。したがって交点の $x$ 座標は $x=0,x=a$ である。

ここで $1\leqq a\leqq 4$ だから $a-6<0$ である。また $0<x<a$ では $x>0,x-a<0$ なので $\frac{a-6}{a^2}x(x-a)>0$ となる。よって $0<x<a$ では $C_1$ が $C_2$ より上にある。

囲まれる図形の面積を $S(a)$ とすると $S(a)={\int }_0^a\frac{a-6}{a^2}x(x-a)dx$ である。積分を計算すると

だから $S(a)=\frac{a-6}{a^2}\left(-\frac{a^3}{6}\right)=\frac{a(6-a)}{6}$ である。

これを平方完成すると $S(a)=-\frac{1}{6}(a-3{)}^2+\frac{3}{2}$ である。よって $1\leqq a\leqq 4$ における最大値は、頂点 $a=3$ でとられ、$\frac{3}{2}$ である。

最小値は端点を比較すればよい。 $S(1)=\frac{5}{6},S(4)=\frac{4}{3}$ であるから、最小値は $a=1$ でとられ、$\frac{5}{6}$ である。

別解。差の式を $\frac{6-a}{a^2}x(a-x)$ と見れば、$0\leqq x\leqq a$ でそのまま上側と下側の差を表す。標準的に ${\int }_0^{a}x(a-x)dx=\frac{a^3}{6}$ だから、面積はすぐに $\frac{6-a}{a^2}\cdot \frac{a^3}{6}=\frac{a(6-a)}{6}$ となる。