北海道大学 1981年度文理共通数学前期文系第2問／理系第3問解答・解説

問題

空間に平面 $π : 3 x + 2 y + z = 1$ と2直線

l_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}, l_{2} : \frac{x}{2} = y + 1 = z

(1) 平面 $π$ と直交し，直線 $l_{1}$ を含む平面の方程式を求めよ．

(2) 平面 $π$ と直交し，2直線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ と交わる直線の方程式を求めよ．

出典：北海道大学 1981年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系第2問／理系第3問

方針

(1) は求める平面の法線ベクトルを $(p, q, r)$ と置き、直線 $l_{1}$ を含む条件と平面 $π$ に直交する条件を内積0の連立で表す。(2) は $π$ に直交する直線の方向ベクトルが $(3, 2, 1)$ であることを使う。 $l_{1}$ 上の点 $P$ 、 $l_{2}$ 上の点 $Q$ を媒介変数で表し、 $Q - P$ が $(3, 2, 1)$ に平行になるように連立して交点を求める。

解答

平面 $π : 3 x + 2 y + z = 1$ の法線ベクトルを $n = (3, 2, 1)$ とする。また直線 $l_{1}$ は点 $(1, 2, 3)$ を通り、方向ベクトル $v_{1} = (2, 3, 4)$ をもつ。

(1)

求める平面の法線ベクトルを $N = (p, q, r)$ とおく。この平面は $l_{1}$ を含むので、 $N$ は $v_{1}$ と垂直である。したがって $2 p + 3 q + 4 r = 0$ である。また求める平面は $π$ と直交するので、2つの平面の法線ベクトル $N$ と $n$ は垂直である。よって $3 p + 2 q + r = 0$ である。

この連立を満たす簡単なベクトルとして $N = (- 1, 2, - 1)$ を取れる。求める平面は $(1, 2, 3)$ を通るから $- (x - 1) + 2 (y - 2) - (z - 3) = 0$ である。整理して $x - 2 y + z = 0$ を得る。

(2)

求める直線は平面 $π$ と直交するので、その方向ベクトルは $(3, 2, 1)$ に平行である。 $l_{1}$ 上の点を $P = (1 + 2 u, 2 + 3 u, 3 + 4 u)$ とし、 $l_{2}$ 上の点を $Q = (2 v, v - 1, v)$ とする。求める直線が $P, Q$ を結ぶなら $Q - P = λ (3, 2, 1)$ と書ける。

成分を比較すると $2 v - 1 - 2 u = 3 λ, v - 3 - 3 u = 2 λ, v - 3 - 4 u = λ$ である。第2式から第3式の2倍を引くと $- v + 3 + 5 u = 0$ すなわち $v = 5 u + 3$ である。また第1式から第3式の3倍を引くと $- v + 8 + 10 u = 0$ すなわち $v = 10 u + 8$ である。したがって $5 u + 3 = 10 u + 8$ より $u = - 1, v = - 2$ を得る。このとき $P = (- 1, - 1, - 1), Q = (- 4, - 3, - 2)$ であり、確かに $Q - P = (- 3, - 2, - 1) = - (3, 2, 1)$ である。

よって、求める直線は点 $(- 1, - 1, - 1)$ を通り方向ベクトル $(3, 2, 1)$ をもつ直線である。したがって $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = z + 1$ である。

別解。(2) は (1) の平面を利用してもよい。 $l_{1}$ を通り $π$ に直交する平面は $x - 2 y + z = 0$ である。求める直線は $l_{1}$ 上の点から $(3, 2, 1)$ 方向に伸びるので、この平面内にある。したがって $l_{2}$ との交点は、 $l_{2} : (2 v, v - 1, v)$ を $x - 2 y + z = 0$ に代入して $2 v - 2 (v - 1) + v = 0$ より $v = - 2$ と求まる。そこから方向 $(3, 2, 1)$ の直線を引けば、同じ答えになる。

北海道大学 1981年度文理共通数学 前期 文系 第2問／理系 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1981年度
文理共通数学前期文系第2問／理系第3問