問題
(1) の2次関数
の最小値を，で表せ．またこの関数のにおける最小値を，で表せ．
(2) ，が実数全体を自由に動くとき
の最小値がとなるの値を求めよ．
方針
(1) はまず平方完成して、全実数での頂点の値を求める。制限 が付く場合は、頂点の 座標が常に であり区間の左側にあることを確認して、端点 の値を取る。(2) は を固定して について最小化し、残った が実数 全体で最小値をもつ条件から を出す。最後にその最小値が である条件を方程式にして、正の解だけを採用する。
解答
(1)
与えられた2次関数を平方完成する。 である。したがって、 が実数全体を動くときの最小値は、頂点 でとられ、 である。
次に に制限する。頂点の 座標は であり、これは常に を満たす。したがって、区間 では頂点は範囲外の左側にあり、2次関数は から右へ進むほど増加する。よって制限付きの最小値は でとられる。 を整理すると である。したがって である。
(2)
問題の式を を固定して の2次関数と見ると、(1) の を に置き換えた形である。よって、固定した に対する 方向の最小値は である。したがって、全体の最小値を求めるには を実数 全体で最小化すればよい。
ここで なら下に開く2次式なので下に限りがなく、最小値をもたない。 なら となり、やはり下に限りがない。したがって条件を満たすには が必要である。 のとき、平方完成して である。よって全体の最小値は である。これが に等しいので である。 だから両辺に を掛けて すなわち を得る。これを解くと である。 より である。
別解。(2) の式を初めから と見てもよい。第1項は で0にできるため、結局 の最小値だけを調べればよい。