広島大学 2024年度理系数学第5問解答・解説

問題

関数

f (x) = lo g (x + 1 + x^{2})

に対し、次の問いに答えよ。

(1) 曲線 $y = f (x)$ は $x > 0$ で上に凸であることを示せ。

(2) すべての $x ≧ 0$ に対し、不等式

\frac{x}{1 + x ^{2}} ≦ f (x) ≦ x

が成り立つことを示せ。

(3) 定積分 $\int_{0}^{\frac{3}{4}} f (x) d x$ の値 $S$ を求めよ。

(4) 曲線 $y = f (x)$ 上の点で、 $x$ 座標が $\frac{3}{4}$ であるものを $A$ とする。また、点 $A$ における曲線 $y = f (x)$ の接線を $l$ とする。 $l$ と直線 $y = x$ の交点を $B$ とする。点 $O (0, 0)$ 、 $A, B$ と点 $C (\frac{3}{4}, 0)$ を頂点にもつ四角形 $A B O C$ の面積 $T$ を求めよ。

(5) (1)〜(4)を利用して、 $lo g 2$ の小数第 $1$ 位の数字を求めよ。

出典：広島大学 2024年度前期理系第5問

方針

まず $f^{'} (x) = 1/ 1 + x^{2}$ を求める。(2)は $f (x) - x / 1 + x^{2}$ と $x - f (x)$ の増減で示す。(3)は部分積分、(4)は接線と直線 $y = x$ の交点を出して面積を座標計算する。(5)は面積比較から $lo g 2 < 0.7$ を導く。

解答

(1)

f^{'} (x) = \frac{1 + x / 1 + x ^{2}}{x + 1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

である。したがって

f^{''} (x) = - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}}

である。 $x > 0$ で $f^{''} (x) < 0$ であるから、曲線 $y = f (x)$ は上に凸である。

(2)

まず $f (0) = 0$ であり、 $0 ≦ f^{'} (x) ≦ 1$ であるから、 $x ≧ 0$ で

f (x) ≦ x

である。次に

h (x) = f (x) - \frac{x}{1 + x ^{2}}

とおくと、 $h (0) = 0$ であり、

h^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} ≧ 0

である。よって $h (x) ≧ 0$ であり、

\frac{x}{1 + x ^{2}} ≦ f (x)

である。

(3)

部分積分により

\int f (x) d x = x f (x) - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x f (x) - 1 + x^{2} + C

である。 $f (\frac{3}{4}) = lo g 2$ 、 $1 + (\frac{3}{4})^{2} = \frac{5}{4}$ より

S = [x f (x) - 1 + x^{2}]_{0}^{3/4} = \frac{3}{4} lo g 2 - \frac{1}{4}

である。

(4)

$A = (\frac{3}{4}, lo g 2)$ であり、接線の傾きは

f^{'} (\frac{3}{4}) = \frac{4}{5}

である。したがって接線 $l$ は

y - lo g 2 = \frac{4}{5} (x - \frac{3}{4})

である。これと $y = x$ の交点を求めると

B = (5 lo g 2 - 3, 5 lo g 2 - 3)

である。 $L = lo g 2$ とおいて、四角形 $A B O C$ の面積を座標で計算すると

T = \frac{1}{2} {\frac{3}{4} (5 L - 3) + \frac{3}{4} L - L (5 L - 3)} = - \frac{5}{2} L^{2} + \frac{15}{4} L - \frac{9}{8}

である。

(5)

(2)を $0 ≦ x ≦ \frac{3}{4}$ で積分すると

\int_{0}^{3/4} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x ≦ S

より

\frac{1}{4} ≦ \frac{3}{4} lo g 2 - \frac{1}{4}

である。したがって

lo g 2 ≧ \frac{2}{3}

である。

また、(1)より曲線は接線 $l$ の下側にあり、(2)より曲線は直線 $y = x$ の下側にある。よって曲線下の面積 $S$ は四角形 $A B O C$ の面積 $T$ より小さい。 $L = lo g 2$ とすると

\frac{3}{4} L - \frac{1}{4} < - \frac{5}{2} L^{2} + \frac{15}{4} L - \frac{9}{8}

である。整理して

20 L^{2} - 24 L + 7 < 0

となるから

\frac{1}{2} < L < \frac{7}{10}

である。以上より

\frac{2}{3} ≦ lo g 2 < \frac{7}{10}

であるから、 $lo g 2$ の小数第 $1$ 位の数字は

6

である。

広島大学 2024年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2024年度
理系数学第5問