広島大学 2024年度理系数学第4問解答・解説

問題

複素数平面において、点 $1$ を中心とする半径 $2$ の円を $C$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 点 $α$ が円 $C$ と虚軸との交点であるとき、 $α + \frac{1}{α}$ を求めよ。

(2) 円 $C$ 上の点 $z$ に対し、点 $- \frac{1}{z}$ も円 $C$ 上にあることを示せ。

(3) 円 $C$ 上の点 $z$ に対し、 $w = z + \frac{1}{z}$ とする。複素数 $w, z$ は

∣ w - 2∣ = \frac{2}{∣ z ∣}

を満たすことを示せ。

(4) 円 $C$ 上の点 $z$ に対し、(3)で定めた複素数 $w$ は

∣ w - 2∣∣ w + 2∣ = 4

を満たすことを示せ。

出典：広島大学 2024年度前期理系第4問

方針

円 $C$ の条件 $∣ z - 1∣ = 2$ を $∣ z ∣^{2} - z - \overline{z} - 1 = 0$ に直し、 $∣ z + 1 ∣^{2}$ と $∣ z ∣^{2}$ の関係を出す。 $w - 2$ 、 $w + 2$ はそれぞれ $(z - 1)^{2} / z$ 、 $(z + 1)^{2} / z$ に因数分解して絶対値を調べる。

解答

(1)

$α$ は虚軸上にあるから $α = y i$ とおける。円 $C$ 上にある条件は

∣ y i - 1 ∣^{2} = 2

であり、 $1 + y^{2} = 2$ より $y = \pm 1$ である。したがって $α = \pm i$ であり、いずれの場合も

α + \frac{1}{α} = 0

である。

(2)

$∣ z - 1∣ = 2$ より

∣ z ∣^{2} - z - \overline{z} - 1 = 0

である。よって

∣ z + 1 ∣^{2} = ∣ z ∣^{2} + z + \overline{z} + 1 = 2∣ z ∣^{2}

である。したがって

- \frac{1}{z} - 1 = \frac{z + 1}{z} = 2

となるので、点 $- \frac{1}{z}$ も円 $C$ 上にある。

(3)

w - 2 = z + \frac{1}{z} - 2 = \frac{( z - 1 ) ^{2}}{z}

である。したがって

∣ w - 2∣ = \frac{∣ z - 1 ∣ ^{2}}{∣ z ∣} = \frac{2}{∣ z ∣}

である。

(4)

w + 2 = z + \frac{1}{z} + 2 = \frac{( z + 1 ) ^{2}}{z}

である。(2)の計算より $∣ z + 1 ∣^{2} = 2∣ z ∣^{2}$ であるから

∣ w + 2∣ = \frac{∣ z + 1 ∣ ^{2}}{∣ z ∣} = 2∣ z ∣

である。よって(3)と合わせて

∣ w - 2∣∣ w + 2∣ = \frac{2}{∣ z ∣} \cdot 2∣ z ∣ = 4

である。

広島大学 2024年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2024年度
理系数学第4問