広島大学 2024年度文系数学第4問解答・解説

問題

$a$ と $r$ を正の実数とする。座標平面上の放物線 $y = x^{2}$ と、中心 $(0, a)$ 、半径 $r$ の円 $C$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) $a = r$ とする。このとき、放物線 $y = x^{2}$ と円 $C$ との共有点が一つのみになるような $r$ の値の範囲を求めよ。

(2) 円 $C$ が不等式 $y > 0$ の表す領域に含まれるための必要十分条件を $a$ と $r$ を用いて表せ。

(3) $a$ と $r$ は(2)で求めた条件を満たすとする。このとき、放物線 $y = x^{2}$ と円 $C$ との共有点がちょうど二つになるような $(r, a)$ の範囲を $r a$ 平面に図示せよ。

(4) 正の実数 $s$ に対し、中心 $(0, a + r + s)$ 、半径 $s$ の円を $C^{'}$ とする。円 $C$ と円 $C^{'}$ は次の条件(i)と(ii)を満たすとする。

(i) 円 $C$ は不等式 $y > 0$ の表す領域に含まれ、さらに放物線 $y = x^{2}$ と円 $C$ との共有点はちょうど二つである。

(ii) 放物線 $y = x^{2}$ と円 $C^{'}$ との共有点はちょうど二つである。

このとき、 $s$ を $r$ を用いて表せ。

出典：広島大学 2024年度前期文系第4問

方針

放物線上の点を $(x, x^{2})$ とし、 $u = x^{2} ≧ 0$ と置く。円との共有点数は $u$ の二次方程式の非負解の個数から判定できる。(3)では円が $y > 0$ に含まれるので $u = 0$ は起こらず、ちょうど二つの共有点は正の重解に対応する。

解答

(1)

放物線上の点を $(x, x^{2})$ とすると、円との共有点は

x^{2} + (x^{2} - r)^{2} = r^{2}

を満たす。 $u = x^{2}$ とおくと

u (u + 1 - 2 r) = 0

である。 $u = 0$ は点 $(0, 0)$ を与える。もう一つの解 $u = 2 r - 1$ が正なら共有点はさらに $2$ 個増える。したがって共有点が一つのみである条件は

2 r - 1 ≦ 0

であり、

0 < r ≦ \frac{1}{2}

である。

(2)

円 $C$ の最下点の $y$ 座標は $a - r$ である。円全体が $y > 0$ の表す領域に含まれるための必要十分条件は

a - r > 0

すなわち

a > r

である。

(3)

放物線と円 $C$ の共有点は

u^{2} + (1 - 2 a) u + a^{2} - r^{2} = 0 (u = x^{2} ≧ 0)

で判定できる。(2)より $a > r$ なので、定数項 $a^{2} - r^{2}$ は正であり、 $u = 0$ は解でない。共有点がちょうど二つであるためには、この二次方程式が正の重解をもてばよい。

判別式が $0$ である条件は

(1 - 2 a)^{2} - 4 (a^{2} - r^{2}) = 0

すなわち

a = r^{2} + \frac{1}{4}

である。このとき重解は

u = a - \frac{1}{2} = r^{2} - \frac{1}{4}

であるから、正であるために $r > \frac{1}{2}$ が必要である。逆に $r > \frac{1}{2}$ 、 $a = r^{2} + \frac{1}{4}$ なら $a - r = (r - \frac{1}{2})^{2} > 0$ であり条件を満たす。

したがって図示すべき範囲は

a = r^{2} + \frac{1}{4}, r > \frac{1}{2}

で表される放物線上の部分である。

(4)

(i)より

a = r^{2} + \frac{1}{4}, r > \frac{1}{2}

である。円 $C^{'}$ の中心の $y$ 座標を $a^{'} = a + r + s$ とおく。円 $C^{'}$ が放物線とちょうど二つの共有点をもつためには、(3)と同じ判定により

a^{'} = s^{2} + \frac{1}{4}

である。したがって

a + r + s = s^{2} + \frac{1}{4}

である。ここに $a = r^{2} + \frac{1}{4}$ を代入すると

r^{2} + r + s = s^{2}

となり、

(s - r) (s + r) = s + r

である。 $s + r > 0$ より

s = r + 1

である。

広島大学 2024年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2024年度
文系数学第4問