広島大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

実数 $t$ および $0 < a < b$ を満たす実数 $a, b$ に対し、

f (t) = \int_{a}^{b} (x - a t) (x - b t) d x

とおく。次の問いに答えよ。

(1) $f (0)$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。

(2) $14 f (1) + f (0) = 0$ が成り立つとする。このとき、 $\frac{b}{a}$ の値を求めよ。

(3) $14 f (1) + f (0) = 0$ が成り立つとする。 $t$ の関数 $y = f (t) - f (0)$ の最小値が $- 6$ となるとき、 $a$ の値を求めよ。

出典：広島大学 2024年度前期文系第2問

積分を展開して $f (0)$ 、 $f (1)$ 、 $f (t) - f (0)$ を求める。条件 $14 f (1) + f (0) = 0$ は $b / a$ の二次方程式に直し、(3)では $b = 2 a$ を代入して二次関数の最小値を使う。

f (0) = \int_{a}^{b} x^{2} d x = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} = \frac{( b - a ) ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3}

である。

f (1) = \int_{a}^{b} (x - a) (x - b) d x = - \frac{( b - a ) ^{3}}{6}

である。したがって

14 f (1) + f (0) = 0

は

- \frac{7 ( b - a ) ^{3}}{3} + \frac{( b - a ) ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3} = 0

と同値である。 $b > a$ より $b - a > 0$ なので

a^{2} + ab + b^{2} = 7 (b - a)^{2}

である。 $r = \frac{b}{a}$ とおくと

2 r^{2} - 5 r + 2 = 0

となる。 $r > 1$ より

\frac{b}{a} = 2

である。

(2)より $b = 2 a$ である。一般に

f (t) - f (0) = - \frac{( a + b ) ( b ^{2} - a ^{2} )}{2} t + ab (b - a) t^{2}

であるから、 $b = 2 a$ を代入して

f (t) - f (0) = a^{3} (2 t^{2} - \frac{9}{2} t)

である。この二次関数の最小値は

- \frac{81}{32} a^{3}

である。これが $- 6$ に等しいので

a^{3} = \frac{64}{27}

となり、

a = \frac{4}{3}

である。