広島大学 2024年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

$x$ 座標、 $y$ 座標がともに整数である座標平面上の点を格子点と呼ぶことにする。座標平面上の $3$ 点を頂点にもつ三角形上の格子点とは、頂点、辺または内部に含まれている格子点のことをいう。四角形に対しても同様に四角形上の格子点を定めるものとする。

$O (0, 0)$ を座標平面上の原点とする。 $a$ と $b$ を互いに素な自然数、 $n$ を自然数として、座標平面上の点 $P_{n} (an, 0)$ 、 $Q_{n} (0, bn)$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) 直線 $P_{n} Q_{n}$ 上の格子点 $(x, y)$ で $x ≧ 0$ 、 $y ≧ 0$ を満たすものは

(ak, b (n - k)) (k = 0, 1, \dots, n)

のみであることを示せ。

(2) $P_{1}$ と $Q_{1}$ をそれぞれ $P, Q$ と表す。点 $R (a, b)$ に対し、長方形 $O P R Q$ 上の格子点の個数を $a$ と $b$ を用いて表せ。また、三角形 $O P Q$ 上の格子点の個数を $a$ と $b$ を用いて表せ。

(3) 三角形 $O P_{n} Q_{n}$ 上の格子点の個数を $a, b, n$ を用いて表せ。

(4) 座標空間内の原点 $O (0, 0, 0)$ と $3$ 点 $X (an, 0, 0)$ 、 $Y (0, bn, 0)$ 、 $Z (0, 0, n)$ をとる。点 $O, X, Y, Z$ を $4$ 頂点とする四面体 $O X Y Z$ 上の格子点の個数を $a, b, n$ を用いて表せ。ただし、 $x$ 座標、 $y$ 座標、 $z$ 座標のすべてが整数である座標空間内の点を格子点と呼ぶことにする。また、四面体上の格子点とは、頂点、辺、面または内部に含まれている格子点のことをいう。

出典：広島大学 2024年度前期文理共通第3問

方針

直線 $P_{n} Q_{n}$ は $b x + a y = abn$ と表せるので、互いに素であることから $x$ が $a$ の倍数になる。(3)では $x = a q + r$ と分けて各縦線上の格子点数を足す。(4)は高さ $z = m$ の断面を (3) の三角形として数える。

解答

(1)

直線 $P_{n} Q_{n}$ の方程式は

b x + a y = abn

である。この直線上の格子点 $(x, y)$ について、上式を $a$ で割った余りを見ると、 $b x$ は $a$ で割り切れる。 $a$ と $b$ は互いに素であるから、 $x$ は $a$ で割り切れる。よって $x = ak$ とおける。これを代入すると

y = b (n - k)

である。 $x ≧ 0, y ≧ 0$ より $k = 0, 1, \dots, n$ であるから、求める格子点は

(ak, b (n - k)) (k = 0, 1, \dots, n)

のみである。

(2)

長方形 $O P R Q$ 上の格子点は $0 ≦ x ≦ a$ 、 $0 ≦ y ≦ b$ を満たす格子点であるから、個数は

(a + 1) (b + 1)

である。

(1)を $n = 1$ に適用すると、対角線 $P Q$ 上の格子点は $P, Q$ の $2$ 個だけである。長方形は対角線 $P Q$ で合同な $2$ つの三角形に分かれるので、三角形 $O P Q$ 上の格子点の個数は

\frac{( a + 1 ) ( b + 1 ) + 2}{2} = \frac{ab + a + b + 3}{2}

である。

(3)

三角形 $O P_{n} Q_{n}$ 内の格子点は

0 ≦ x, 0 ≦ y, b x + a y ≦ abn

を満たす格子点である。 $x = a q + r$ 、 $0 ≦ r ≦ a - 1$ と表す。ただし $x = an$ の点は最後に別に数える。

$q = 0, 1, \dots, n - 1$ を固定する。 $r = 0$ のとき、 $y$ は $0$ から $b (n - q)$ までの $b (n - q) + 1$ 個である。 $r = 1, 2, \dots, a - 1$ のとき、 $b r$ を $a$ で割った商を用いて同様に数えると、固定した $q$ に対する個数の和は

a {b (n - q) + 1} - \frac{( a - 1 ) ( b + 1 )}{2}

である。ここで、 $b r$ の $a$ による余りが $1, 2, \dots, a - 1$ を一度ずつ動くことを用いた。

したがって、 $x = 0, 1, \dots, an - 1$ に対応する個数を足し、さらに $x = an, y = 0$ の $1$ 個を加えると

q = 0 \sum n - 1 [a {b (n - q) + 1} - \frac{( a - 1 ) ( b + 1 )}{2}] + 1

である。これを整理して

\frac{ab n ^{2} + ( a + b + 1 ) n + 2}{2}

を得る。

(4)

$z = m$ （ $m = 0, 1, \dots, n$ ）で切った断面を考える。この断面上の格子点は、(3)で $n$ を $n - m$ に置き換えた個数だけある。したがって、求める個数は

k = 0 \sum n \frac{ab k ^{2} + ( a + b + 1 ) k + 2}{2}

である。よって

\frac{abn ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{12} + \frac{( a + b + 1 ) n ( n + 1 )}{4} + n + 1

である。

広島大学 2024年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2024年度
文理共通数学第3問