問題
座標空間内の点、、、に対し、、、とおく。次の問いに答えよ。
(1) 内積、、の値を求めよ。
(2) 点を通る平面をとする。点から平面に下ろした垂線と平面の交点をとする。点の座標を求めよ。
(3) 点を(2)で定めた点とする。点を直線上の点であって
となるものとする。ただし、点は点とは異なる点である。このとき、点の座標を求めよ。
(4) 点を(3)で定めた点とする。三角形の面積を求めよ。
出典：広島大学 2024年度 前期 文理共通 第2問
方針
平面 上の点を と表し、 が の両方に垂直である条件から を求める。 は直線 上の点としてパラメータ表示し、距離条件で決める。面積は底辺 と、平面上の点 から直線 への距離 で計算する。
解答
(1)
である。したがって
である。
(2)
は平面上にあるから
とおける。すなわち
である。は平面に垂直であるから、、である。これより
を得る。したがって
であり、
である。
(3)
は直線上にあるから
とおく。であるから、
である。であり、条件は
である。これを整理すると となる。は点を表すので、より である。したがって
である。
(4)
直線は平面に垂直であり、点は平面上にあるから、は直線への高さである。ここで
であり、
である。よって
である。