広島大学 2020年度文系数学第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を次の条件(ⅰ)，(ⅱ)により定める．(ⅰ)　 $a_{1} = 1$ である．(ⅱ)　 $n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots$ に対し， $n$ が奇数ならば $a_{n + 1} = - a_{n} + 1,$ また $n$ が偶数ならば， $a_{n + 1} = - 2 a_{n} + 3$ である．さらに，数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = a_{2 n - 1}$ により定め，数列 ${c_{n}}$ を $c_{n} = a_{2 n}$ により定める．次の問いに答えよ．(1)　 $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4},$ $a_{5}$ を求めよ．(2)　数列 ${b_{n}},$ ${c_{n}}$ の一般項をそれぞれ求めよ．(3)　自然数 $m$ に対して，数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $(2 m - 1)$ 項までの和を $T_{m}$ とする． $T_{m}$ を $m$ を用いて表せ．

出典：広島大学 2020年度前期文系第4問

方針

奇数番目と偶数番目を分け， $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ， $c_{n} = a_{2 n}$ の間の関係を作る。 $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ を $b_{n} + 1$ の等比数列に直し，最後は奇数番目と偶数番目の和を合わせる。

解答

(1)

定義より

a_{2} = - a_{1} + 1 = 0, a_{3} = - 2 a_{2} + 3 = 3,

a_{4} = - a_{3} + 1 = - 2, a_{5} = - 2 a_{4} + 3 = 7

である。

(2)

$b_{n} = a_{2 n - 1}$ ， $c_{n} = a_{2 n}$ であるから

c_{n} = - b_{n} + 1

であり，さらに

b_{n + 1} = - 2 c_{n} + 3 = 2 b_{n} + 1

である。 $b_{1} = 1$ なので， $b_{n} + 1$ は初項2，公比2の等比数列である。よって

b_{n} = 2^{n} - 1, c_{n} = 2 - 2^{n}

である。

(3)

T_{m} = k = 1 \sum m b_{k} + k = 1 \sum m - 1 c_{k}

である。したがって

k = 1 \sum m (2^{k} - 1) = 2^{m + 1} - 2 - m

かつ

k = 1 \sum m - 1 (2 - 2^{k}) = 2 m - 2^{m}

であるから，

T_{m} = 2^{m} + m - 2

である。

広島大学 2020年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2020年度
文系数学第4問