広島大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$m,$ $p,$ $q$ を実数とする．二つの関数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x,$ $g (x) = \frac{1}{6} (x - p)^{2} + q$ を考える．座標平面上の放物線 $C_{1} : y = f (x),$ $C_{2} : y = g (x)$ および直線 $l : y = m x$ について，次の二つの条件(ⅰ)，(ⅱ)が成り立つとする．(ⅰ)　直線 $l$ は原点 $O$ において放物線 $C_{1}$ に接している．(ⅱ)　直線 $l$ は放物線 $C_{2}$ に接している．直線 $l$ と放物線 $C_{2}$ の接点を $A$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $m$ の値を求めよ．(2)　 $q$ を $p$ を用いて表せ．また，点 $A$ の座標を $p$ を用いて表せ．(3)　 $p \neq = - 1$ とする．放物線 $C_{1}$ と放物線 $C_{2}$ の二つの共有点の $x$ 座標を $p$ を用いて表せ．(4)　 $p = 2$ とする．放物線 $C_{1}$ と放物線 $C_{2}$ で囲まれた図形のうち， $x ≧ 0$ の範囲にある部分の面積 $S$ と， $x ≦ 0$ の範囲にある部分の面積 $T$ をそれぞれ求めよ．

出典：広島大学 2020年度前期文系第1問

方針

接線条件から $m = f^{'} (0)$ を求める。 $C_{2}$ への接線条件は，接点での傾きが $\frac{1}{3}$ であることから接点の $x$ 座標を求め， $q$ も決める。共有点は2次方程式を解き，最後は $p = 2$ を代入して上下関係を確認し積分する。

解答

(1)

f^{'} (x) = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}

である。直線 $l$ は原点で $C_{1}$ に接するので

m = f^{'} (0) = \frac{1}{3}

である。

(2)

$g^{'} (x) = \frac{1}{3} (x - p)$ である。 $C_{2}$ への接線の傾きが $\frac{1}{3}$ なので，接点の $x$ 座標は

\frac{1}{3} (x - p) = \frac{1}{3}

より $x = p + 1$ である。接点は直線 $y = \frac{1}{3} x$ 上にあるから

\frac{1}{6} + q = \frac{p + 1}{3}

であり，

q = \frac{2 p + 1}{6}, A = (p + 1, \frac{p + 1}{3})

である。

(3)

共有点の $x$ 座標は

\frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x = \frac{1}{6} (x - p)^{2} + \frac{2 p + 1}{6}

を満たす。6倍して整理すると

3 x^{2} + 2 (p + 1) x - (p + 1)^{2} = 0

である。 $p \neq = - 1$ より，二つの解は

x = \frac{p + 1}{3}, x = - (p + 1)

である。

(4)

$p = 2$ のとき， $q = \frac{5}{6}$ であり，

f (x) - g (x) = \frac{1}{2} (x + 3) (x - 1)

である。 $- 3 < x < 1$ では $g (x) > f (x)$ であるから，

S = \int_{0}^{1} {g (x) - f (x)} d x, T = \int_{- 3}^{0} {g (x) - f (x)} d x

である。 $g (x) - f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{3}{2}$ より

S = \frac{5}{6}, T = \frac{9}{2}

である。

広島大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
文系数学第1問