広島大学 2018年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上で，三つの不等式 $y ≧ 0 ， x + y ≧ 4 ， 2 x + 3 y ≦ 12$ によって表される領域を $D$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $D$ を図示せよ．(2)　座標平面上で， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点という． $D$ に含まれる格子点をすべて求めよ．(3)　 $1$ 個のさいころを $2$ 回投げるとき， $1$ 回目に出た目の数を $X ， 2$ 回目に出た目の数を $Y$ とする．点 $(X, Y)$ が $D$ に含まれる確率を求めよ．(4)　 $1$ 個のさいころを $n$ 回投げるとき，出た目の数の中の最小の数を $Z,$ 最大の数を $W$ とする．点 $(Z, W)$ が $D$ に含まれる確率 $P_{n}$ を求めよ．ただし， $n$ は $2$ 以上の自然数とする．

出典：広島大学 2018年度前期文系第4問

方針

領域 $D$ は三直線の交点から三角形として把握する。格子点は $y$ の値ごとに列挙する。さいころ2回は該当する格子点を数え， $n$ 回の場合は $(Z, W)$ の可能な組を列挙して，最小値・最大値が指定される確率を数える。

解答

(1)

境界線は $y = 0$ ， $x + y = 4$ ， $2 x + 3 y = 12$ である。交点を求めると

(4, 0), (6, 0), (0, 4)

である。したがって $D$ はこの3点を頂点とする三角形の周および内部である。

(2)

$y$ を整数として調べると， $D$ に含まれる格子点は

(4, 0), (5, 0), (6, 0), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (1, 3), (0, 4)

である。

(3)

$1 ≦ X, Y ≦ 6$ であるから，(2)のうち該当する点は

(3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (1, 3)

の5点である。全事象は36通りなので，求める確率は

\frac{5}{36}

である。

(4)

$Z ≦ W$ であり， $(Z, W)$ が $D$ に含まれる組は

(1, 3), (2, 2)

だけである。 $(Z, W) = (1, 3)$ となるのは，すべての目が $1, 2, 3$ のいずれかで，少なくとも1回は $1$ ，少なくとも1回は $3$ が出るときである。その回数は

3^{n} - 2 \cdot 2^{n} + 1

通りである。また $(Z, W) = (2, 2)$ となるのはすべて $2$ が出る1通りである。よって

P_{n} = \frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1} + 2}{6 ^{n}}

である。

広島大学 2018年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
文系数学第4問