広島大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(1)　実数 $θ$ が $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ を満たすとき，不等式 $\frac{1 - c o s θ}{2} < 1$ が成り立つことを示せ．(2)　 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ を満たす実数 $θ$ に対し， $cos α = \frac{1 - c o s θ}{2} (0 ≦ α ≦ \frac{π}{2})$ により定まる実数 $α$ は， $θ$ についての整式 $f (θ)$ を用いて $α = f (θ)$ と表すことができる．このような $f (θ)$ を一つ求めよ．(3)　(2)で求めた $f (θ)$ を用いて，数列 ${θ_{n}}$ を $θ_{1} = \frac{π}{2} ， θ_{n + 1} = f (θ_{n}) （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ により定める．数列 ${θ_{n}}$ の一般項を求めよ．(4)　(3)の数列 ${θ_{n}}$ に対し， $∣ θ_{n + 1} - θ_{n} ∣ ≦ \frac{π}{1000}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ．

出典：広島大学 2018年度前期文系第2問

方針

半角公式により $(1 - cos θ) /2 = sin (θ /2)$ と読む。 $cos α = sin (θ /2) = cos (π /2 - θ /2)$ から一次式の漸化式を得て，固定値からの差で一般項を求める。

解答

(1)

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $0 ≦ cos θ ≦ 1$ である。したがって

0 ≦ \frac{1 - cos θ}{2} ≦ \frac{1}{2}

より

\frac{1 - cos θ}{2} ≦ \frac{1}{2} < 1

である。

(2)

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ より $0 ≦ \frac{θ}{2} ≦ \frac{π}{4}$ である。半角公式から

\frac{1 - cos θ}{2} = sin \frac{θ}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{θ}{2})

である。 $\frac{π}{2} - \frac{θ}{2}$ は $[0, \frac{π}{2}]$ に入るから

α = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}

でよい。したがって

f (θ) = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}

である。

(3)

θ_{n + 1} = \frac{π}{2} - \frac{θ _{n}}{2}

であり， $\frac{π}{3}$ を引くと

θ_{n + 1} - \frac{π}{3} = - \frac{1}{2} (θ_{n} - \frac{π}{3})

である。 $θ_{1} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$ より

θ_{n} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1}

である。

(4)

(3)より

∣ θ_{n + 1} - θ_{n} ∣ = \frac{π}{4} (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{π}{2 ^{n + 1}}

である。これが $\frac{π}{1000}$ 以下となる条件は

2^{n + 1} ≧ 1000

である。 $2^{9} = 512$ ， $2^{10} = 1024$ より，最小の自然数は

n = 9

である。

広島大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
文系数学第2問