広島大学 2018年度文理共通数学第1問（別問題2）解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(1)　次の条件(A)を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ．(A) $2$ 次式 $t^{2} - u t + v$ は， $0 ≦ x ≦ 1 ， 0 ≦ y ≦ 1$ を満たす実数 $x ， y$ を用いて $t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)$ と因数分解される．(2)　次の条件(B)を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ．(B) $2$ 次式 $t^{2} - u t + v$ は， $0 ≦ x ≦ 1 ， 1 ≦ y ≦ 2$ を満たす実数 $x ， y$ を用いて $t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)$ と因数分解される．(3)　座標平面上の点 $(x, y)$ が $4$ 点 $(0, 0) ， (1, 0) ， (1, 2) ， (0, 2)$ を頂点とする長方形の周および内部を動くとき，点 $(x + y, x y)$ の動く範囲の面積を求めよ．

出典：広島大学 2018年度前期文理共通第1問

方針

$(u, v) = (x + y, x y)$ として，和 $u$ を固定したときの積 $v$ の範囲を求める。条件(A)(B)の範囲をそれぞれ区間分割で出し，長方形全体では $x \in [0, 1], y \in [0, 2]$ として上下境界の差を積分する。

解答

(1)

条件(A)では $u = x + y$ ， $v = x y$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ である。固定した $u$ に対して積 $x y$ の最大は $x = y = \frac{u}{2}$ のときである。端の条件も合わせると，存在範囲は

0 ≦ u ≦ 1 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4},

1 ≦ u ≦ 2 のとき u - 1 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4}

である。

(2)

条件(B)では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $1 ≦ y ≦ 2$ である。 $u = x + y$ を固定して $v = x (u - x)$ の範囲を調べると，存在範囲は

1 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ u - 1,

2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1

である。

(3)

長方形全体では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 2$ である。 $(u, v) = (x + y, x y)$ とおくと，像の範囲は

0 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4},

2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1

である。よって面積は

\int_{0}^{2} \frac{u ^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} (3 - u) d u = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}

である。

広島大学 2018年度文理共通数学 第1問（別問題2）

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2018年度
文理共通数学第1問（別問題2）