横浜国立大学 2025年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

% 図は省略

立方体 $A B C D - E F G H$ を考える。辺 $A D$ ， $G H$ の中点をそれぞれ $P$ ， $Q$ とする。辺 $A B$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $R$ とする。ただし， $0 < t < 1$ である。 $A B = a$ ， $A D = b$ ， $A E = c$ と表す。いま，4点 $B$ ， $C$ ， $G$ ， $F$ を通る平面上に点 $S$ をとり，

A S = α a + β b + γ c

（ $α$ ， $β$ ， $γ$ は実数）と表す。

次の問いに答えよ。

(1) $α$ を求めよ。また， $A P$ ， $A Q$ ， $A R$ をそれぞれ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $t$ を用いて表せ。

以降， $P$ ， $Q$ ， $R$ ， $S$ が同一平面上にあるとする。

(2) $β$ を $γ$ ， $t$ の式で表せ。

(3) 直線 $P S$ と直線 $QR$ が垂直に交わるとき， $β$ ， $γ$ をそれぞれ $t$ の式で表せ。

(4) 直線 $P S$ と直線 $QR$ が垂直に交わり，かつ点 $S$ が立方体の面 $B C GF$ 上にあるとき， $t$ の取りうる値の範囲を求めよ。

出典：横浜国立大学 2025年度前期文理共通第2問

方針

立方体の3辺を基底ベクトルとして座標化する。 $P, Q, R, S$ の成分を並べ， $P, Q, R, S$ が同一平面上にある条件を， $P S = u P Q + v P R$ とおいて係数比較する。垂直条件は内積で処理し，最後に面 $B C GF$ 上の条件 $0 ≦ β ≦ 1, 0 ≦ γ ≦ 1$ を調べる。

解答

(1)

点 $S$ は面 $B C GF$ 上にあるので， $a$ 方向の係数は1であり，

α = 1

である。また，

A P = \frac{1}{2} b, A Q = \frac{1}{2} a + b + c, A R = t a

である。

(2)

$P, Q, R, S$ が同一平面上にあるから，実数 $u, v$ を用いて

P S = u P Q + v P R

と表せる。各ベクトルの成分は

P Q = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c, P R = t a - \frac{1}{2} b, P S = a + (β - \frac{1}{2}) b + γ c

である。 $c$ の係数から $u = γ$ ， $a$ の係数から $1 = γ /2 + t v$ ，したがって $v = (1 - γ /2) / t$ である。 $b$ の係数を比較すると

β - \frac{1}{2} = \frac{γ}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - γ /2}{t}

より，

β = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 t} + \frac{2 t + 1}{4 t} γ

である。

(3)

立方体の3辺方向は互いに垂直である。直線 $P S$ と直線 $QR$ が垂直である条件は

P S \cdot QR = 0

である。ここで

QR = (t - \frac{1}{2}) a - b - c

だから，内積は

t - β - γ = 0

となる。したがって $β + γ = t$ である。これと(2)の式を連立して，

γ = \frac{4 t ^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1}, β = \frac{2 t ^{2} + 3 t - 2}{6 t + 1}

を得る。

(4)

点 $S$ が面 $B C GF$ 上にあるためには

0 ≦ β ≦ 1, 0 ≦ γ ≦ 1

が必要十分である。 $0 < t < 1$ では $6 t + 1 > 0$ であり，

β ≧ 0 ⟺ 2 t^{2} + 3 t - 2 ≧ 0 ⟺ t ≧ \frac{1}{2}

である。また $β ≦ 1$ はこの範囲で成り立つ。さらに $γ ≧ 0$ は常に成り立ち，

γ ≦ 1 ⟺ 4 t^{2} - 8 t + 1 ≦ 0

であるが， $t ≧ 1/2$ ならこれも満たされる。よって

\frac{1}{2} ≦ t < 1

である。

横浜国立大学 2025年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2025年度
文理共通数学第2問