横浜国立大学 2023年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

さいころ $A$ とさいころ $B$ がある。はじめに、さいころ $A$ を2回投げ、1回目に出た目を $a_{1}$ 、2回目に出た目を $a_{2}$ とする。次に、さいころ $B$ を2回投げ、1回目に出た目を $b_{1}$ 、2回目に出た目を $b_{2}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $a_{1} ≧ b_{1} + b_{2}$ となる確率を求めよ。

(2) $a_{1} + a_{2} > b_{1} + b_{2}$ となる確率を求めよ。

(3) $a_{1} + a_{2} > b_{1} + b_{2}$ という条件のもとで、 $a_{2} = 1$ となる条件付き確率を求めよ。

出典：横浜国立大学 2023年度前期文理共通第2問

方針

2個のさいころの和の分布を表にして数える。(2)は2つの和の対称性を利用し、等しい場合を除いて半分にする。(3)は条件付き確率として、 $a_{2} = 1$ を固定した場合の有利な組数を数える。

解答

(1)

$b_{1} + b_{2} ≦ a_{1}$ となる $(b_{1}, b_{2})$ の個数は、 $a_{1} = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対してそれぞれ

0, 1, 3, 6, 10, 15

である。したがって求める確率は

\frac{35}{6 ^{3}} = \frac{35}{216}

である。

(2)

2個のさいころの和が $2, 3, \dots, 12$ となる個数は

1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

である。2つの和が等しくなる場合の数は

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 5^{2} + 4^{2} + 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} = 146

である。全体は $3 6^{2}$ 通りであり、 $a_{1} + a_{2} > b_{1} + b_{2}$ の場合と $a_{1} + a_{2} < b_{1} + b_{2}$ の場合は同数である。よって求める確率は

\frac{3 6 ^{2} - 146}{2 \cdot 3 6 ^{2}} = \frac{575}{1296}

である。

(3)

$a_{2} = 1$ とすると、条件は $b_{1} + b_{2} ≦ a_{1}$ である。(1)と同じ数え上げにより、この場合の数は35通りである。一方、(2)より条件 $a_{1} + a_{2} > b_{1} + b_{2}$ を満たす場合の数は575通りである。したがって求める条件付き確率は

\frac{35}{575} = \frac{7}{115}

である。

横浜国立大学 2023年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2023年度
文理共通数学第2問