横浜国立大学 2022年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

1辺の長さが1である正四面体 $O A B C$ を考える。点 $P, Q, R$ は、それぞれ辺 $O A, O B, B C$ を以下のように内分する。

O P : P A = s : (1 - s), O Q : QB = t : (1 - t), B R : R C = u : (1 - u)

さらに、点 $O$ 、 $△ A B C$ の重心 $G$ 、 $△ P QR$ の重心 $H$ の3点は同一直線上にある。

次の問いに答えよ。

(1) $s, u$ を $t$ の式で表せ。また $s$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $∣ QP ∣^{2}, ∣ QR ∣^{2}$ 、内積 $O P \cdot QR$ を $t$ の式で表せ。

(3) $△ P QR$ の面積 $S$ を $t$ の式で表せ。また $S$ が最小となる $t$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期文理共通第3問

方針

$a = O A, b = O B, c = O C$ とおく。正四面体なので各ベクトルの長さは1、相互の内積は $1/2$ である。重心 $H$ が直線 $O G$ 上にある条件を、 $a, b, c$ の係数が等しいことに直す。(3)は2辺 $QP, QR$ の長さと内積から面積を表し、平方根の中の多項式を最小化する。

解答

(1)

$a = O A, b = O B, c = O C$ とおく。すると

O P = s a, O Q = t b, O R = (1 - u) b + u c

である。また

O G = \frac{a + b + c}{3}, O H = \frac{s a + ( t + 1 - u ) b + u c}{3}

である。 $O, G, H$ が同一直線上にあるので、 $O H$ の係数は等しい。よって $s = t + 1 - u = u$ であり、

s = u = \frac{t + 1}{2}

である。 $0 ≦ t ≦ 1$ より $\frac{1}{2} ≦ s ≦ 1$ である。

(2)

正四面体の1辺の長さが1であるから

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2}

である。 $s = u = \frac{t + 1}{2}$ を用いると

∣ QP ∣^{2} = ∣ s a - t b ∣^{2} = s^{2} + t^{2} - s t = \frac{3 t ^{2} + 1}{4}

である。また

QR = \frac{1 - 3 t}{2} b + \frac{t + 1}{2} c

より

∣ QR ∣^{2} = \frac{7 t ^{2} - 6 t + 3}{4}

である。さらに

O P \cdot QR = \frac{1 - t ^{2}}{4}

である。

(3)

同様に計算すると

QP \cdot QR = \frac{4 t ^{2} - 3 t + 1}{4}

である。したがって

S^{2} = \frac{1}{4} (∣ QP ∣^{2} ∣ QR ∣^{2} - (QP \cdot QR)^{2})

より

S = \frac{1}{8} 5 t^{4} + 6 t^{3} - t^{2} + 2

である。

平方根の中を $F (t) = 5 t^{4} + 6 t^{3} - t^{2} + 2$ とおくと

F^{'} (t) = 20 t^{3} + 18 t^{2} - 2 t = 2 t (10 t - 1) (t + 1)

である。 $0 ≦ t ≦ 1$ で $F (t)$ は $0 < t < \frac{1}{10}$ で減少し、 $\frac{1}{10} < t < 1$ で増加する。よって $S$ が最小となるのは

t = \frac{1}{10}

のときである。

横浜国立大学 2022年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2022年度
文理共通数学第3問