横浜国立大学 2020年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

中身の見えない2つの箱 $A, B$ がある。箱 $A$ には白玉と赤玉がそれぞれ2個ずつ入っており，箱 $B$ には白玉1個だけが入っている。このとき， $n$ を正の整数として，次の操作(＊)を考える。

(＊) はじめに，箱 $A$ の中身をよくかきまぜて，箱 $A$ から玉を2個取り出し，色を確認しないで，箱 $B$ に2個とも入れる。次に，「箱 $B$ の中身をよくかきまぜて，箱 $B$ から玉を1個取り出し，色を確認した後，箱 $B$ に戻す」という作業を $n$ 回繰り返す。

操作(＊)を一度行ったとき，箱 $B$ から取り出した玉が $n$ 回ともすべて白玉である確率を $p_{n}$ とし，箱 $B$ から取り出した玉が $n$ 回ともすべて白玉であるという条件のもとで，はじめに箱 $A$ から取り出した玉が2個とも白玉である条件付き確率を $q_{n}$ とする。

次の問いに答えよ。

(1) $p_{2}, q_{2}$ を求めよ。

(2) $p_{n}, q_{n}$ を求めよ。

(3) $q_{n} > \frac{1}{2}$ をみたす最小の $n$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期文理共通第2問

方針

最初に箱 $A$ から取り出す2個の色の組を，白白，白赤，赤赤の3場合に分ける。各場合で箱 $B$ の白玉の割合が一定になるので， $n$ 回連続で白玉を取り出す確率を重み付きで足して $p_{n}$ を求める。 $q_{n}$ は条件付き確率の定義から，白白の場合の同時確率を $p_{n}$ で割る。

解答

(1)

箱 $A$ から最初に取り出す2個が白白，白赤，赤赤である確率は，それぞれ

\frac{1}{6}, \frac{4}{6}, \frac{1}{6}

である。白白のとき箱 $B$ は白玉3個，白赤のとき箱 $B$ は白玉2個と赤玉1個，赤赤のとき箱 $B$ は白玉1個と赤玉2個になる。

したがって

p_{2} = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{4}{6} (\frac{2}{3})^{2} + \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{13}{27} .

また，白白であり，かつ2回とも白玉を取り出す確率は $\frac{1}{6}$ であるから

q_{2} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{13}{27}} = \frac{9}{26} .

(2)

同じ場合分けにより

p_{n} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} (\frac{2}{3})^{n} + \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{n} = \frac{3 ^{n} + 2 ^{n + 2} + 1}{6 \cdot 3 ^{n}} .

また

q_{n} = \frac{\frac{1}{6}}{p _{n}} = \frac{3 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n + 2} + 1} .

(3)

q_{n} > \frac{1}{2}

は

2 \cdot 3^{n} > 3^{n} + 2^{n + 2} + 1

と同値であり，すなわち

3^{n} > 2^{n + 2} + 1

である。 $n = 3$ では $27 < 33$ ， $n = 4$ では $81 > 65$ である。また $n ≧ 4$ では $3^{n}$ は $2^{n + 2} + 1$ より速く増えるので，最小の $n$ は

4

である。

横浜国立大学 2020年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2020年度
文理共通数学第2問