横浜国立大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

実数 $a$ に対し， $x y$ 平面上の曲線 $y = x^{3} - a x$ を $C$ とする。 $C$ 上の異なる2点 $P_{1}, P_{2}$ と，2つの直線 $l_{1}, l_{2}$ があり， $k = 1, 2$ に対して以下の条件をみたしている。

(i) $P_{k}$ の $x$ 座標は正である。

(ii) $l_{k}$ は $P_{k}$ を通り，さらに $P_{k}$ における $C$ の接線と直交する。

(iii) $l_{k}$ は $P_{k}$ 以外の点で $C$ と接する。

次の問いに答えよ。

(1) $a$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $k = 1, 2$ に対して， $C$ と $l_{k}$ によって囲まれる部分の面積を $S_{k}$ とする。 $S_{1} + S_{2}$ を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期文系第3問

方針

$P$ の $x$ 座標を $p > 0$ ， $l$ が接する別の点の $x$ 座標を $q$ とする。接線の式が $P$ を通る条件から $(p - q)^{2} (p + 2 q) = 0$ を得て， $q = - p /2$ と決まる。さらに， $P$ での接線と $q$ での接線の傾きが直交する条件から $u = p^{2}$ の二次方程式を作り，正の2解をもつ条件を調べる。面積は重接点と単純交点をもつ三次式の積分として計算する。

解答

(1)

$P$ の $x$ 座標を $p > 0$ ， $l$ が $P$ 以外で $C$ と接する点の $x$ 座標を $q$ とする。 $q$ における接線は

y = (3 q^{2} - a) (x - q) + q^{3} - a q = (3 q^{2} - a) x - 2 q^{3}

である。これが $P (p, p^{3} - a p)$ を通るから

p^{3} - a p = (3 q^{2} - a) p - 2 q^{3}

すなわち

p^{3} - 3 p q^{2} + 2 q^{3} = 0

である。左辺は

(p - q)^{2} (p + 2 q)

に等しい。 $P$ は接点と異なるので $p \neq = q$ であり，よって

q = - \frac{p}{2}

である。

また $l$ は $P$ における接線と直交するので

(3 p^{2} - a) (3 q^{2} - a) = - 1

である。 $q = - \frac{p}{2}$ を代入し， $u = p^{2}$ とおくと

(3 u - a) (\frac{3 u}{4} - a) = - 1

すなわち

9 u^{2} - 15 a u + 4 (a^{2} + 1) = 0

である。異なる2点 $P_{1}, P_{2}$ が存在するには，この二次方程式が正の異なる2解をもてばよい。解の和は $\frac{5 a}{3}$ ，積は $\frac{4 ( a ^{2} + 1 )}{9}$ であるから，正の2解のためには $a > 0$ が必要である。さらに判別式が正である条件は

(15 a)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4 (a^{2} + 1) > 0

すなわち

9 a^{2} - 16 > 0

である。以上より

a > \frac{4}{3}

である。

(2)

上の $p$ に対する直線 $l$ について， $q = - \frac{p}{2}$ である。曲線と直線の差は

x^{3} - a x - {(3 q^{2} - a) x - 2 q^{3}} = (x - q)^{2} (x + 2 q) = (x - q)^{2} (x - p)

である。区間 $q ≦ x ≦ p$ ではこの値は0以下なので，囲まれる面積は

S = \int_{q}^{p} (x - q)^{2} (p - x) d x

である。 $d = p - q = \frac{3 p}{2}$ とおくと

S = \int_{0}^{d} X^{2} (d - X) d X = \frac{d ^{4}}{12} = \frac{27 p ^{4}}{64}

である。

$u_{1} = p_{1}^{2}$ , $u_{2} = p_{2}^{2}$ とすると， $u_{1}, u_{2}$ は

9 u^{2} - 15 a u + 4 (a^{2} + 1) = 0

の2解である。よって

u_{1} + u_{2} = \frac{5 a}{3}, u_{1} u_{2} = \frac{4 ( a ^{2} + 1 )}{9}

であり，

u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = (u_{1} + u_{2})^{2} - 2 u_{1} u_{2} = \frac{17 a ^{2} - 8}{9}

である。したがって

S_{1} + S_{2} = \frac{27}{64} (u_{1}^{2} + u_{2}^{2}) = \frac{3 ( 17 a ^{2} - 8 )}{64}

である。

横浜国立大学 2019年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2019年度
文系数学第3問