問題
平面上に放物線 と点 があり、 を通り傾きが の直線を とする。さらに、 と との2つの交点を結ぶ線分の中点において、放物線 が と接している。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) と で囲まれる領域の面積を求めよ。
(3) が実数全体を動くとき、(2)で求めた面積の最小値を求めよ。
出典：横浜国立大学 2018年度 前期 文系 第3問
方針
直線 と の交点の 座標を2次方程式の解として扱い、中点の座標を解と係数の関係で出す。その中点で が に接することから を決め、面積は2つの放物線の差を平方完成して積分する。
解答
(1)
直線 は
である。 との交点の 座標は
の2解であるから、その和は である。したがって2交点を結ぶ線分の中点の 座標は であり、その 座標は直線 上で
である。
の接線の傾きは である。 で傾きが だから
より である。また中点を通るので
であり、 を代入して
を得る。
(2)
は
ただし
である。よって囲まれる部分の面積は
である。したがって
である。
(3)
であるから、最小値は のときにとり、 である。よって面積の最小値は
である。