横浜国立大学 2018年度文理共通数学第2問（理工系2）解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y z$ 空間に点 $A (2, 0, - 1)$ 、および中心を点 $B (0, 0, 1)$ とする半径 $2$ の球面 $S$ がある。平面 $z = 0$ 上の点 $P (a, b, 0)$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) 直線 $A P$ 上の点 $Q$ に対して $A Q = t A P$ と表すとき、 $O Q$ を $a, b, t$ を用いて表せ。

(2) 直線 $A P$ が球面 $S$ と共有点をもつとき、点 $P$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

(3) 球面 $S$ と平面 $x = - 1$ の共通部分を $T$ とする。直線 $A P$ が $T$ と共有点をもつとき、点 $P$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期文理共通第2問

(1) は $Q = A + t (P - A)$ で表す。(2) は球面との交点条件を $t$ の2次方程式の実数解条件に直す。(3) は直線上で $x = - 1$ となる $t$ を先に求め、その点が円 $T$ 上にある条件を $a, b$ に直す。

$P - A = (a - 2, b, 1)$ であるから

Q = A + t (P - A) = (2 + t (a - 2), t b, - 1 + t)

である。したがって

O Q = (2 + t (a - 2), t b, - 1 + t)

である。

$Q$ が球面 $S$ 上にある条件は

{2 + t (a - 2)}^{2} + (t b)^{2} + (- 1 + t - 1)^{2} = 2

である。整理すると

{(a - 2)^{2} + b^{2} + 1} t^{2} + (4 a - 12) t + 6 = 0

となる。実数 $t$ が存在する条件は判別式が0以上であることだから

(4 a - 12)^{2} - 24 {(a - 2)^{2} + b^{2} + 1} ≧ 0

であり、整理して

a^{2} + 3 b^{2} ≦ 3

を得る。よって存在範囲は楕円 $a^{2} + 3 b^{2} = 3$ の周上および内部である。

直線 $A P$ 上で $x = - 1$ となるには

2 + t (a - 2) = - 1

であり、 $t = 3/ (2 - a)$ である。この点が $T$ 上にある条件は、平面 $x = - 1$ 上で

y^{2} + (z - 1)^{2} = 1

をみたすことである。したがって

(\frac{3 b}{2 - a})^{2} + (\frac{3}{2 - a} - 2)^{2} = 1

である。両辺に $(2 - a)^{2}$ を掛けて整理すると

9 b^{2} + (2 a - 1)^{2} = (2 - a)^{2}

すなわち

a^{2} + 3 b^{2} = 1

である。よって求める存在範囲は楕円 $a^{2} + 3 b^{2} = 1$ の周上である。