問題
% 図は省略（2017年横浜国立大学前期の円卓配置図）
円卓に の6人が右の図のように座っており、さいころが1個ある。
このとき、次の試行(*)を繰り返し、得点を獲得していくゲームを考える。ただし、ゲーム開始時は、 がさいころを持っており、各自の持ち点は 点であるとする。
(*) さいころを持っている人が、そのさいころを1回投げて出た目を とする。このとき、投げた人から時計回りに 人目の人がさいころを受け取り、さいころを受け取った人の持ち点に 点が加算される。
たとえば、 がさいころを投げて の目が出た場合は、 がさいころを受け取り、 の持ち点に 点が加算される。
試行(*)を4回繰り返してゲームを終了する。次の問いに答えよ。
(1) ゲーム終了時に の持ち点が 点である確率を求めよ。
(2) ゲーム終了時に の持ち点が 点である確率を求めよ。
(3) ゲーム終了時に の持ち点が 点であるとき、 の持ち点が 点である条件付き確率を求めよ。
方針
をそれぞれ余り に対応させる。4回の出目を とし、累積和 の で割った余りで受け取る人を判定する。 のとき 、 のとき が得点するので、累積和で数え上げる。
解答
(1)
を順に に対応させる。4回の出目を とし、 とする。このとき となる回に が得点する。
の持ち点が 点であるためには、4回すべてで であればよい。各回、現在の余りが でないようにする出目は5通りであるから、有利な出目列は
通りである。全体は 通りなので、求める確率は
である。
(2)
の得点が 点になる場合を数える。 が1回だけ得点し、その得点が 点である場合を考える。得点する回は第2回、第3回、第4回のいずれかであり、それぞれ25通りである。したがってこの場合は
通りである。
次に が2回得点する場合、2回の得点の和が でなければならない。得点回は第2回と第4回に限られ、得点の組は
の4通りである。3回以上得点して合計 点になることはない。よって有利な出目列は
通りである。したがって求める確率は
である。
(3)
(2)で数えた 通りのうち、 が 点を得るには、ある回で出目が で、かつその回の累積和が に合同でなければならない。
(2)の分類に従って確認すると、この条件をみたす出目列は
の2通りである。したがって条件付き確率は
である。