横浜国立大学 2016年度文系数学第2問解答・解説

問題

実数 $a, b$ に対し，関数

f (x) = x^{4} + 2 a x^{3} + (a^{2} + 1) x^{2} - a^{3} + a + b

がただ $1$ つの極値をもち，その極値が $0$ 以上になるとする．次の問いに答えよ．

(1)　 $a, b$ のみたす条件を求めよ．

(2)　 $a, b$ が (1) の条件をみたすとき， $a - 2 b$ の最大値を求めよ．

出典：横浜国立大学 2016年度前期文系第2問

方針

(1) は導関数を因数分解し， $x = 0$ 以外の極値を生じない条件を二次式の判別式で表す。極値は $x = 0$ での値なので，その非負条件を加える。(2) は $b$ を最小にしたとき目的式が最大になることを使い， $a$ だけの三次式を閉区間で最大化する。

解答

(1)

導関数は

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 a x^{2} + 2 (a^{2} + 1) x = 2 x {2 x^{2} + 3 a x + a^{2} + 1}

である。二次式 $2 x^{2} + 3 a x + a^{2} + 1$ の判別式は

(3 a)^{2} - 8 (a^{2} + 1) = a^{2} - 8

である。この二次式は上に凸でなく係数 $2 > 0$ であるから， $a^{2} - 8 ≦ 0$ のとき $f^{'} (x)$ の符号は $x = 0$ を境に負から正へ変わり，極値はただ1つである。 $a^{2} - 8 > 0$ のときは $x = 0$ のほかにも符号変化を伴う停留点が生じ，極値は1つでない。

したがって $- 22 ≦ a ≦ 22$ である。また唯一の極値は $x = 0$ での値

f (0) = - a^{3} + a + b

であるから，これが $0$ 以上である条件は

b ≧ a^{3} - a

である。よって求める条件は

- 22 ≦ a ≦ 22, b ≧ a^{3} - a

である。

(2)

固定した $a$ に対して $a - 2 b$ を最大にするには $b = a^{3} - a$ とすればよい。このとき

a - 2 b = a - 2 (a^{3} - a) = 3 a - 2 a^{3}

である。 $h (a) = 3 a - 2 a^{3}$ とおくと

h^{'} (a) = 3 - 6 a^{2}

であり，区間 $[- 22, 22]$ での候補は端点と $a = \pm \frac{1}{2}$ である。値を比べると

h (- 22) = 262,

であり，他の候補より大きい。したがって最大値は

262

である。

横浜国立大学 2016年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2016年度
文系数学第2問