横浜国立大学 2015年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円に内接する三角形 $A B C$ があり，

2 O A + 3 O B + 4 O C = 0

をみたしている．この円上に点 $P$ があり，線分 $A B$ と線分 $C P$ は直交している．次の問いに答えよ．

(1)　内積 $O A \cdot O B$ と $∣ A B ∣$ をそれぞれ求めよ．

(2)　線分 $A B$ と線分 $C P$ の交点を $H$ とするとき， $A H : H B$ を求めよ．

(3)　四角形 $A P B C$ の面積を求めよ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期文理共通第3問

方針

(1) 与えられたベクトル関係を2乗して $O A \cdot O B$ を出す。(2) は $H = A + s (B - A)$ とおき， $C P ⊥ A B$ から $(H - C) \cdot (B - A) = 0$ を使う。(3) は $A B$ を対角線と見て，三角形 $A B C$ と $A B P$ の面積を高さ $C H, P H$ から足し合わせる。

解答

(1)

$O A = a, O B = b, O C = c$ とおく。 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1$ であり，

2 a + 3 b = - 4 c

である。両辺の長さの2乗を比べると

4 + 9 + 12 a \cdot b = 16

より

a \cdot b = \frac{1}{4}

である。したがって

∣ A B ∣^{2} = ∣ b - a ∣^{2} = 2 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2}

より

∣ A B ∣ = \frac{6}{2}

である。

(2)

まず与式と $a, b$ との内積をとると

a \cdot c = - \frac{11}{16}, b \cdot c = - \frac{7}{8}

である。 $H = A + s (B - A)$ とおくと， $A H : H B = s : (1 - s)$ である。 $C P ⊥ A B$ より

(O H - c) \cdot (b - a) = 0

である。ここで $O H = a + s (b - a)$ だから

- \frac{3}{4} + \frac{3}{2} s + \frac{3}{16} = 0

となり， $s = \frac{3}{8}$ を得る。よって

A H : H B = 3 : 5

である。

(3)

(2) より

O H = \frac{5}{8} a + \frac{3}{8} b

である。計算すると

∣ O H ∣^{2} = \frac{83}{128}, O H \cdot c = - \frac{97}{128}

であるから

C H^{2} = ∣ O H - c ∣^{2} = \frac{405}{128}

となり， $C H = \frac{9 10}{16}$ である。

直線 $C P$ と円の交点は $C, P$ であり， $H$ はその弦上の点である。直線上の交点の符号付き距離を考えると， $C H \cdot P H = 1 - ∣ O H ∣^{2} = \frac{45}{128}$ だから

P H = \frac{10}{16}

である。したがって

C P = C H + P H = \frac{5 10}{8}

である。四角形 $A P B C$ の面積は，対角線 $A B$ を底辺とする三角形 $A B C$ と $A B P$ の面積の和だから

\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C P = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{5 10}{8} = \frac{5 15}{16}

である。

横浜国立大学 2015年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2015年度
文理共通数学第3問