東京大学 2026年度
文理共通数学 文科第2問・理科第2問

解答

(1)

$n=5$ のとき，点は全部で15個ある。相異なる3点の選び方は ${}_{15}{\mathrm{C}}_3=455$ 通りである。三角形にならない場合，すなわち3点が一直線上にある場合を数える。

まず，3点が同じ縦の列にある場合を考える。列は $x=1,2,3$ の3本あり，各列には5点あるので，この場合は $3\cdot {}_5{\mathrm{C}}_3=3\cdot 10=30$ 通りである。

次に，3点が3つの列から1点ずつ選ばれる場合を考える。このとき一直線上にあるためには，真ん中の列の点が両端の列の点の中点になればよい。したがって，3点は $(1,y),(2,y+d),(3,y+2d)$ と表される。ただし，$y,y+d,y+2d$ はいずれも $1$ 以上 $5$ 以下の整数である。 $d=0$ のときは $y=1,2,3,4,5$ で5通りである。$d=1$ のときは $y=1,2,3$ で3通り，$d=-1$ のときも3通りである。$d=2$ のときは $y=1$ で1通り，$d=-2$ のときも1通りである。$|d|\geqq 3$ では条件を満たす $y$ は存在しない。よって，3列すべてを使う一直線上の選び方は $5+2\cdot 3+2\cdot 1=13$ 通りである。

したがって，一直線上にある3点の選び方は $30+13=43$ 通りである。求める確率はその余事象を用いて $p_5=1-\frac{43}{455}=\boxed{\frac{412}{455}}$ である。

(2)

$n=2m$ とする。点は全部で $6m$ 個あるから，3点の選び方は ${}_{6m}{\mathrm{C}}_3=\frac{6m(6m-1)(6m-2)}{6}=m(6m-1)(6m-2)$ 通りである。

一直線上にある場合を数える。まず，3点が同じ縦の列にある場合は

通りである。

次に，3列から1点ずつ選ばれて一直線上にある場合を数える。この場合も $(1,y),(2,y+d),(3,y+2d)$ と表せる。$d=0$ のときは $y=1,2,\dots ,2m$ で $2m$ 通りである。 $d>0$ のときは $1\leqq y,y+2d\leqq 2m$ が必要十分なので，$y$ は $1\leqq y\leqq 2m-2d$ を満たす。したがって $d=1,2,\dots ,m-1$ について $2m-2d$ 通りである。$d<0$ の場合も対称に同じ個数だけある。よって，3列すべてを使う一直線上の選び方は $2m+2{\sum }_{d=1}^{m-1}(2m-2d)$ である。和を計算すると $2m+2\left\{2m(m-1)-2\cdot \frac{(m-1)m}{2}\right\}=2m+2m(m-1)=2m^2$ である。

したがって，一直線上にある3点の選び方は $2m(2m-1)(m-1)+2m^2=2m(2m^2-2m+1)$ 通りである。

ゆえに

である。