問題
黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1) どの赤玉も隣り合わない確率を求めよ。
(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率を求めよ。
方針
個々の玉は同色内で区別しない色の並びに直して数える。(1) は黒白8個を先に並べ，9個のすき間から赤を入れる4か所を選ぶ。(2) は，赤が隣り合わない並びを作る同じ手順を母集団にし，先にできた黒白列の中で隣り合う黒黒の箇所数 によって分類する。黒黒の間には赤を必ず入れる必要があるので，残りの赤を他のすき間から選ぶ形で条件付きの個数を出す。
解答
(1)
色だけの並びで考える。12個の位置のうち赤玉4個の位置を選ぶ方法は，全体では 通りである。赤玉がどの2個も隣り合わないように4個の位置を選ぶには，赤以外の8個を先に置いて，その前後と間にできる9個のすき間から4個を選べばよい。したがってその数は 通りである。
黒玉3個，白玉5個の並び方 は，分子・分母で共通に掛かるので，求める確率 は
である。
(2)
赤玉が隣り合わない並びは，まず黒玉3個と白玉5個の列を作り，その9個のすき間から赤玉を入れる4か所を選ぶことで一意に作られる。したがって，条件付き確率の母集団の個数は である。
黒玉3個と白玉5個からなる長さ8の列で，隣り合う黒黒の箇所数を とする。 は黒がどの2個も隣り合わない場合で，5個の白の前後と間の6個のすき間から黒を置く3か所を選ぶから 通りである。 は3個の黒がひとかたまり になる場合で，このかたまりと5個の白を並べるから 通りである。全体は 通りなので， の列は 通りである。
赤玉を入れたあと黒玉も隣り合わないようにするには，もとの黒白列で黒黒が隣り合っている 箇所には，必ず赤玉を1個入れなければならない。残りの赤玉 個は，その 箇所を除いた 個のすき間から選んで入れる。よって条件を満たす並びの個数は である。したがって
である。