問題
，を実数とする。座標平面上の放物線
は放物線と2つの共有点を持ち，一方の共有点の座標はを満たし，他方の共有点の座標はを満たす。
(1) 点のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2) 放物線の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。
出典：東京大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文科第3問・理科第1問
方針
共有点の 座標は の2解である。(1) は上に凸の二次式が と に1つずつ解をもつ条件を， の符号で表す。(2) は2解を とおき， から を消去して，固定した に対する の範囲を求める。双一次式なので端の4値を比較し，境界が含まれないことも反映する。
解答
(1)
2つの放物線の共有点の 座標は すなわち の解である。 は上に凸である。 に1つ， に1つ解をもつことは と同値である。実際，この3条件があれば中間値の定理により各区間に少なくとも1つずつ解があり，二次方程式なのでそれ以外の解はない。逆に，それぞれの区間に1つずつ解があれば，上に凸であることから上の符号条件が従う。
これらは である。したがって点 の範囲は である。境界の3直線はいずれも含まれない。
別解。共有点の 座標を とおくと であるから である。このとき となり，同じ範囲が得られる。
(2)
(1) の別解で用いたように，共有点の 座標を とする。このとき であるから，放物線 上の点 は を満たす。
固定した に対し とおく。 は について双一次式であり，長方形 上での上限・下限は4つの隅の値を比較すればよい。4つの隅に対応する値は
である。なお，実際の範囲では の端は含まれないので，上限・下限は到達されない。
これら4つの値の大小を の範囲ごとに比べると，放物線 の通りうる範囲は
である。図示では，境界の放物線はいずれも含まれないので破線で表す。