東京大学 2020年度文理共通数学文科第4問・理科第4問解答・解説

問題

$n$ ， $k$ を， $1 ≦ k ≦ n$ を満たす整数とする。 $n$ 個の整数

2^{m} (m = 0, 1, 2, \dots\dots, n - 1)

から異なる $k$ 個を選んでそれらの積をとる。 $k$ 個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる $_{n} C_{k}$ 個の整数の和を $a_{n, k}$ とおく。例えば，

a_{4, 3} = 2^{0} \cdot 2^{1} \cdot 2^{2} + 2^{0} \cdot 2^{1} \cdot 2^{3} + 2^{0} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} + 2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} = 120

である。

(1) 2以上の整数 $n$ に対し， $a_{n, 2}$ を求めよ。

(2) 1以上の整数 $n$ に対し， $x$ についての整式

f_{n} (x) = 1 + a_{n, 1} x + a_{n, 2} x^{2} + \dots\dots + a_{n, n} x^{n}

を考える。 $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )}$ と $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )}$ を $x$ についての整式として表せ。

(3) $\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}}$ を $n$ ， $k$ で表せ。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第4問・理科第4問

方針

$a_{n, k}$ は $1, 2, 4, \dots, 2^{n - 1}$ から作る $k$ 個積の総和、つまり整式 $f_{n} (x)$ の係数である。(1)は2個積の総和を、全体の和の平方から平方和を引いて求める。(2)は $f_{n} (x)$ を $(1 + x) (1 + 2 x) \dots (1 + 2^{n - 1} x)$ と積で表す。(3)は $f_{n + 1} (x) = (1 + 2^{n} x) f_{n} (x)$ と $f_{n + 1} (x) = (1 + x) f_{n} (2 x)$ の2通りから係数比較し、 $a_{n, k + 1} / a_{n, k}$ を消去する。

解答

(1)

$a_{n, 2}$ は、 $0 ≦ i < j ≦ n - 1$ に対する $2^{i} 2^{j}$ の総和である。したがって $a_{n, 2} = \sum_{0 ≦ i < j ≦ n - 1} 2^{i + j}$ である。これは、全体の和の平方から同じ項同士の積を引いて2で割ればよいので、

a_{n, 2} = \frac{1}{2} {(1 + 2 + \dots + 2^{n - 1})^{2} - (1 + 2^{2} + \dots + 2^{2 n - 2})}

となる。等比数列の和より

1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1, 1 + 2^{2} + \dots + 2^{2 n - 2} = 1 + 4 + \dots + 4^{n - 1} = \frac{4 ^{n} - 1}{3}

であるから

a_{n, 2} = \frac{1}{2} {(2^{n} - 1)^{2} - \frac{4 ^{n} - 1}{3}} = \frac{4 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n} + 2}{3} .

(2)

$f_{n} (x)$ を展開すると、各因子から $x$ を選んだ場所に対応して、選んだ $2^{m}$ たちの積が係数に現れる。よって $f_{n} (x) = (1 + x) (1 + 2 x) (1 + 2^{2} x) \dots (1 + 2^{n - 1} x)$ である。したがって $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (1 + 2^{n} x)$ より $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )} = 1 + 2^{n} x$ である。

また $f_{n} (2 x) = (1 + 2 x) (1 + 2^{2} x) \dots (1 + 2^{n} x)$ であるから、 $f_{n + 1} (x) = (1 + x) f_{n} (2 x)$ となる。よって $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )} = 1 + x$ である。

(3)

(2)で得た $f_{n + 1} (x) = (1 + 2^{n} x) f_{n} (x)$ の $x^{k + 1}$ の係数を比較する。ただし $k = n$ のときは $a_{n, n + 1} = 0$ と考える。すると $a_{n + 1, k + 1} = a_{n, k + 1} + 2^{n} a_{n, k}$ である。

一方、 $f_{n + 1} (x) = (1 + x) f_{n} (2 x)$ から $x^{k + 1}$ の係数を比較すると、 $f_{n} (2 x)$ の $x^{j}$ の係数が $2^{j} a_{n, j}$ であることに注意して $a_{n + 1, k + 1} = 2^{k + 1} a_{n, k + 1} + 2^{k} a_{n, k}$ を得る。

2つの式を等しいとおくと $a_{n, k + 1} + 2^{n} a_{n, k} = 2^{k + 1} a_{n, k + 1} + 2^{k} a_{n, k}$ であり、整理して $(2^{n} - 2^{k}) a_{n, k} = (2^{k + 1} - 1) a_{n, k + 1}$ となる。したがって $\frac{a _{n, k + 1}}{a _{n, k}} = \frac{2 ^{n} - 2 ^{k}}{2 ^{k + 1} - 1}$ である。

これを $a_{n + 1, k + 1} = a_{n, k + 1} + 2^{n} a_{n, k}$ に代入すると

\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}} = \frac{a _{n, k + 1}}{a _{n, k}} + 2^{n} = \frac{2 ^{n} - 2 ^{k}}{2 ^{k + 1} - 1} + 2^{n} = \frac{2 ^{k} ( 2 ^{n + 1} - 1 )}{2 ^{k + 1} - 1} .

$k = n$ のときも、この式は $2^{n}$ となり、全ての数を選ぶ場合と一致する。

東京大学 2020年度文理共通数学 文科第4問・理科第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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