東京大学 2011年度
文理共通数学 文科第4問・理科第4問

解答

放物線上の点 $(t,t^2)$ と $P\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ との距離の2乗を $F(t)={\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(t^2-\frac{1}{4}\right)}^2$ とおく。$△PQR$ が $QR$ を底辺とする二等辺三角形であることは $PQ=PR$ すなわち $F(\alpha )=F(\beta )$ を意味する。また三角形をなすので $Q\ne R$、すなわち $\alpha \ne \beta$ である。

まず $F(t)$ を整理すると $F(t)=t^4+\frac{1}{2}{t}^2-t+\frac{5}{16}$ である。したがって

である。$\alpha \ne \beta$ だから $(\alpha +\beta )({\alpha }^2+{\beta }^2)+\frac{1}{2}(\alpha +\beta )-1=0$ である。

ここで $s=\alpha +\beta ,r=\alpha \beta$ とおく。すると ${\alpha }^2+{\beta }^2=s^2-2r$ であるから、上の条件は $s(s^2-2r)+\frac{s}{2}-1=0$ となる。もし $s=0$ なら左辺は $-1$ となり不可能である。よって $s\ne 0$ であり、$s^2-2r=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$ を得る。すなわち ${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$ である。

重心 $G(X,Y)$ について $X=\frac{1/2+\alpha +\beta }{3}=\frac{s+1/2}{3}$ であり、

である。$X=(s+1/2)/3$ より $s=3X-\frac{1}{2}=\frac{6X-1}{2}$ であるから、これを $Y$ に代入すると $Y=\frac{1}{3(3X-1/2)}-\frac{1}{12}=\frac{3-2X}{4(6X-1)}$ である。

次に範囲を決める。$\alpha ,\beta$ が相異なる実数として存在するためには、2次方程式 $T^2-sT+r=0$ が相異なる実数解をもてばよい。すなわち $s^2-4r>0$ が必要十分である。上で得た $s^2-2r=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$ から $2r=s^2-\frac{1}{s}+\frac{1}{2}$ である。したがって $s^2-4r=s^2-2\left(s^2-\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\right)=-s^2-1+\frac{2}{s}$ である。

また ${\alpha }^2+{\beta }^2=1/s-1/2\geqq 0$ であるから、特に $s>0$ でなければならない。$s>0$ のもとで $-s^2-1+\frac{2}{s}>0$ は、両辺に正の $s$ をかけて $s^3+s<2$ と同値である。関数 $s^3+s$ は $s>0$ で単調増加し、$s=1$ で $2$ となるので、$0<s<1$ である。 $s=3X-1/2$ だから、これは $0<3X-\frac{1}{2}<1$ すなわち $\frac{1}{6}<X<\frac{1}{2}$ である。逆に、この範囲の $X$ に対しては $0<s<1$ となり、判別式が正なので相異なる実数 $\alpha ,\beta$ が存在する。

したがって求める軌跡は $\boxed{Y=\frac{3-2X}{4(6X-1)},\frac{1}{6}<X<\frac{1}{2}}$ である。

別解。二等辺条件を垂直二等分線で表しても同じ式が得られる。$QR$ の中点を $M$ とすると $M\left(\frac{s}{2},\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2}\right)$ であり、$QR$ の傾きは $\frac{{\alpha }^2-{\beta }^2}{\alpha -\beta }=\alpha +\beta =s$ である。$PQ=PR$ は $PM\perp QR$ と同値なので、$Q\ne R$ のもとで $\left(P-M\right)\cdot (1,s)=0$ と書ける。これを展開すると

であり、整理して ${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$ を得る。以後は上と同じく重心表示と判別式に進めばよい。