問題
を半径1の円周とし，を上の1点とする。3点，，がを時刻に出発し，上を各々一定の速さで，，は反時計回りに，は時計回りに，時刻まで動く。，，の速さは，それぞれ，1，2であるとする。したがって，はをちょうど一周する。ただし，はをみたす整数である。がを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さと時刻の組をすべて求めよ。
方針
円周上の位置を出発点 からの偏角で表す。時刻 における偏角は でそれぞれ である。 が斜辺の直角二等辺三角形になるには， と が円の直径の両端で，かつ が から円周上で ずれた点であることが必要十分である。この2条件を角度の合同式にし， の整数について有限確認する。
解答
出発点 の偏角を0とする。時刻 における の偏角は，反時計回りを正として である。
が を斜辺とする直角二等辺三角形である条件を円周上の角度で表す。まず，円周上の点 で となるためには， が直径であればよい。したがって と の偏角の差は奇数倍の であり， と書ける。
さらに， でなければならない。 と が直径の両端であるとき，円周上で から等距離にある点は， から偏角で または だけ離れた点である。したがって であり，整数 を用いて と書ける。
よって必要十分条件は である。第1式から である。これを第2式に代入すると が奇数の整数でなければならない。
ここで としてよい。 では3点が出発点に重なり，三角形が退化するからである。したがって を満たす奇数 だけを調べればよい。
について確認する。条件 を満たすのは次の2種類だけである。
のとき， であり，許される奇数 のすべてが条件を満たす。よって より
である。
のとき， である。これが奇数の整数となるには が5の倍数であり，許される範囲では である。したがって である。
その他の では，上の分数が奇数の整数になる奇数 は存在しない。
以上より求める組は
である。