東京大学 2009年度文理共通数学文科第3問・理科第3問解答・解説

問題

スイッチを1回押すごとに，赤，青，黄，白のいずれかの色の玉が1個，等確率 $\frac{1}{4}$ で出てくる機械がある。2つの箱 $L$ と $R$ を用意する。次の3種類の操作を考える。

(A) 1回スイッチを押し，出てきた玉を $L$ に入れる。

(B) 1回スイッチを押し，出てきた玉を $R$ に入れる。

(1) $L$ と $R$ は空であるとする。操作(A)を5回おこない，さらに操作(B)を5回おこなう。このとき $L$ にも $R$ にも4色すべての玉が入っている確率 $P_{1}$ を求めよ。

(2) $L$ と $R$ は空であるとする。操作(C)を5回おこなう。このとき $L$ に4色すべての玉が入っている確率 $P_{2}$ を求めよ。

(3) $L$ と $R$ は空であるとする。操作(C)を10回おこなう。このとき $L$ にも $R$ にも4色すべての玉が入っている確率を $P_{3}$ とする。 $\frac{P _{3}}{P _{1}}$ を求めよ。

出典：東京大学 2009年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第3問・理科第3問

方針

各操作列は色の列として数える。5回で4色すべてが出る条件は，1色だけが2回，他の3色が1回ずつ出ることである。(1)は $L$ 側5回と $R$ 側5回が独立に同じ条件を満たす確率にする。(2)は操作(C)では各色の初出が $L$ に入るので， $L$ に4色そろうことと5回の色列に4色すべてが現れることが同値である。(3)は操作(C)で $R$ にも4色そろう条件を，各色が10回中少なくとも2回出る条件に読み替え，出現回数の型 $(4, 2, 2, 2)$ ， $(3, 3, 2, 2)$ を数える。

解答

(1)

5回の操作で4色すべてが出る場合を数える。5個の玉で4色がすべて現れるためには，ある1色が2回出て，残り3色が1回ずつ出るしかない。

2回出る色の選び方は4通りである。その色が出る2か所を含めて5回の並べ方は $\frac{5 !}{2 !}$ 通りである。したがって，5回で4色すべてが出る色列は $4 \cdot \frac{5 !}{2 !} = 240$ 通りである。全体の色列は $4^{5}$ 通りなので，5回で4色すべてが出る確率は $\frac{240}{4 ^{5}} = \frac{15}{64}$ である。

操作(A)の5回で $L$ に4色すべてが入り，操作(B)の5回で $R$ に4色すべてが入ればよい。2つの5回の色列は独立であるから $P_{1} = (\frac{15}{64})^{2} = \frac{225}{4096}$ である。

(2)

操作(C)では，ある色が初めて出たときはその玉が $L$ に入る。同じ色がすでに $L$ にある場合だけ $R$ に入る。したがって，5回の操作後に $L$ に4色すべてが入っていることは，5回の色列に4色すべてが現れることと同値である。

よって(1)で数えた確率そのものになり $P_{2} = \frac{15}{64}$ である。

(3)

操作(C)で $L$ にも $R$ にも4色すべてが入るには，各色について，少なくとも1回目の出現が $L$ に入り，さらに2回目以降の出現が $R$ に入る必要がある。したがって10回の色列の中で，各色が少なくとも2回ずつ出ることが必要十分条件である。

10回を4色に分け，各色が少なくとも2回出るとき，出現回数の型は $(4, 2, 2, 2), (3, 3, 2, 2)$ の2種類だけである。

型 $(4, 2, 2, 2)$ では，4回出る色の選び方が4通りあり，その後の並べ方は $\frac{10 !}{4 ! 2 ! 2 ! 2 !}$ 通りである。したがって $4 \cdot \frac{10 !}{4 ! 2 ! 2 ! 2 !} = 75600$ 通りである。

型 $(3, 3, 2, 2)$ では，3回出る2色の選び方が $_{4} C_{2}$ 通りあり，並べ方は $\frac{10 !}{3 ! 3 ! 2 ! 2 !}$ 通りである。したがって $_{4} C_{2} \cdot \frac{10 !}{3 ! 3 ! 2 ! 2 !} = 151200$ 通りである。

よって $P_{3} = \frac{75600 + 151200}{4 ^{10}} = \frac{226800}{4 ^{10}}$ である。一方 $P_{1} = (\frac{240}{4 ^{5}})^{2} = \frac{24 0 ^{2}}{4 ^{10}}$ であるから

\frac{P _{3}}{P _{1}} = \frac{226800}{24 0 ^{2}} = \frac{226800}{57600} = \frac{63}{16}

である。

東京大学 2009年度文理共通数学 文科第3問・理科第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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