東京大学 2007年度文理共通数学文科第4問・理科第5問解答・解説

問題

表が出る確率が $p$ ，裏が出る確率が $1 - p$ であるような硬貨がある。ただし， $0 < p < 1$ とする。この硬貨を投げて，次のルール(R)の下で，ブロック積みゲームを行う。

⎩ ⎨ ⎧ ブロックの高さは，最初は 0 とする。 硬貨を投げて表が出れば高さ 1 のブロックを 1 つ積み上げる。 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ 0 に戻す。

$n$ を正の整数， $m$ を $0 ≦ m ≦ n$ をみたす整数とする。

(1) $n$ 回硬貨を投げたとき，最後にブロックの高さが $m$ となる確率 $p_{m}$ を求めよ。

(2) (1)で，最後にブロックの高さが $m$ 以下となる確率 $q_{m}$ を求めよ。

(3) ルール(R)の下で， $n$ 回の硬貨投げを独立に2度行い，それぞれ最後のブロックの高さを考える。2度のうち，高い方のブロックの高さが $m$ である確率 $r_{m}$ を求めよ。ただし，最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。

出典：東京大学 2007年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第4問・理科第5問

方針

最後のブロックの高さは，最後に連続して出ている表の個数である。 $m < n$ なら，最後の高さが $m$ になるには直前の $n - m$ 回目が裏で，その後 $m$ 回が表で終わる必要がある。 $m = n$ は全回表の場合だけ別扱いにする。(2)は高さが $m$ を超える事象を「最後の $m + 1$ 回がすべて表」と読む。(3)は2回の独立な高さを $X, Y$ とし，最大値が $m$ である確率を $P (X ≦ m, Y ≦ m) - P (X ≦ m - 1, Y ≦ m - 1)$ として，端点 $m = 0, n$ を分ける。

解答

(1)

最後のブロックの高さは， $n$ 回目からさかのぼって最後に連続して出ている表の個数である。 $0 ≦ m < n$ とする。最後の高さが $m$ であるためには， $n - m$ 回目に裏が出て，その後の $m$ 回がすべて表であることが必要十分である。したがって $p_{m} = (1 - p) p^{m} (0 ≦ m < n)$ である。ここで $m = 0$ のときは，最後の1回が裏であることを表している。 $m = n$ のときは， $n$ 回すべて表が出る場合だけであるから $p_{n} = p^{n}$ である。

(2)

$0 ≦ m < n$ とする。高さが $m$ を超えることは，最後の $m + 1$ 回がすべて表であることと同値である。よって余事象を用いて $q_{m} = 1 - p^{m + 1} (0 ≦ m < n)$ である。

また，高さは最大でも $n$ なので $q_{n} = 1$ である。

(3)

2度の独立な試行で得られる最後の高さを $X, Y$ とする。高い方のブロックの高さが $m$ であることは， $max (X, Y) = m$ である。したがって分布関数の差を用いて $P (max (X, Y) = m) = P (X ≦ m, Y ≦ m) - P (X ≦ m - 1, Y ≦ m - 1)$ と表せる。 $m = 0$ のときは両方とも高さ $0$ であればよいから $r_{0} = q_{0}^{2} = (1 - p)^{2}$ である。 $1 ≦ m < n$ では，2回の試行は独立なので

r_{m} = q_{m}^{2} - q_{m - 1}^{2} = (1 - p^{m + 1})^{2} - (1 - p^{m})^{2}

である。

最後に $m = n$ では，高い方が $n$ 以下であることは常に成り立つので $r_{n} = 1 - q_{n - 1}^{2} = 1 - (1 - p^{n})^{2}$ である。

東京大学 2007年度文理共通数学 文科第4問・理科第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2007年度
文理共通数学文科第4問・理科第5問