東京大学 2004年度
文理共通数学 文科第1問・理科第1問

解答

$P=(u,u^2)$, $Q=(v,v^2)$ とおく。$P\ne Q$ であるから $u\ne v$ であり、直線 $PQ$ の傾きは $\frac{v^2-u^2}{v-u}=u+v$ である。これが $\sqrt{2}$ に等しいので、$u+v=\sqrt{2}$ である。 $d=v-u$ とおく。このとき $\overrightarrow{PQ}=(v-u,v^2-u^2)=(d,\sqrt{2}d)$ であり、辺 $PQ$ の長さは $|PQ|=\sqrt{d^2+2d^2}=\sqrt{3}|d|$ である。また中点 $M$ は $M=\left(\frac{u+v}{2},\frac{u^2+v^2}{2}\right)$ である。ここで $u^2+v^2=\frac{(u+v{)}^2+(v-u{)}^2}{2}=\frac{2+d^2}{2}$ だから、$M=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{2+d^2}{4}\right)$ である。

正三角形の第3頂点 $R$ は、中点 $M$ から $\overrightarrow{PQ}$ に垂直な向きへ $\frac{\sqrt{3}}{2}|PQ|$ だけ進んだ点である。向きを $\epsilon =1$ または $-1$ で表すと、

と書ける。

この点も放物線 $y=x^2$ 上にあるので、

が成り立つ。右辺を展開すると

であるから、両辺を整理して $\frac{5}{4}{d}^2-\frac{3}{2}\epsilon \sqrt{3}d=0$ すなわち $d(5d-6\epsilon \sqrt{3})=0$ を得る。$P\ne Q$ より $d\ne 0$ だから、$d=\frac{6\epsilon \sqrt{3}}{5}$ である。したがって $|d|=\frac{6\sqrt{3}}{5}$ であり、正三角形の一辺の長さは $a=|PQ|=\sqrt{3}|d|=\frac{18}{5}$ である。